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Fonction de densité

Posté par
juju783 29-01-09 à 11:15

Bonjour , on a  :

Soit X une variable aléatoire ayant pour fonction de repartition :

F(x)=

0 si x<1

1-x^{-\alpha} x=>1

On me deande de calculer la fonction de densité

Je trouve

f(x)=

\alpha.x^{-\alpha-1} si x=>1

O sinon
C'est correct?

Posté par
veledare : Fonction de densité 29-01-09 à 12:30

bonjour
,oui c'est d'accord

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 12:32

Merci

On me demande alors E(X)

Vous trouvez bien :

\frac{-\alpha}{-\alpha+1} ??

et si oui ça peut se simplifier ?

Posté par
veledare : Fonction de densité 29-01-09 à 12:41

E(X)=\int_1^{+infty}xf(xdxsous réseve d'existence de cette intégrale donc ici il faut que a>1
donc tu distingues deux cas

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 12:42

J(ai oublié de preciser : on a \alpha > 2! dsl

Posté par
juju783simplification 29-01-09 à 13:02

Bonjour, est ce que l'écriture

\frac{-\alpha}{1-\alpha} ?

peut se simplifier ?

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton exercice dans des topics différents, les rappels sont pourtant bien visibles.

Posté par
veledare : Fonction de densité 29-01-09 à 13:03

donc c'est exact \frac{a}{a-1}

Posté par
geronimo 652re : simplification 29-01-09 à 13:03

bonjour,
je ne vois pas, tu peux juste faire disparaître le "-" au numérateur
donc \frac{a}{a-1}

*** message déplacé ***

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 13:26

Merci!

Oui c'est ca on trouve

E(X)= \frac{\alpha}{\alpha-1}

On me demande ensuite de trouver , par la méthode des moments un estimateur T pour \alpha


On pose E(X)=\frac{\alpha}{\alpha-1} = Fi(\alpha) où Fi(x)=\frac{x}{x-1}

On cherche x \in [1,oo[ tel que Fi(x)=y

d'ou
\frac{x}{x-1}=y

x= \frac{y}{y-1}

Donc Fi^{-1}(x) = \frac{x}{x-1}

T = Fi^{-1}(\bar{X})

T = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}



On me demande alors de verifier que T est un estimateur de \alpha

il faut donc calculer

E(\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1})
mais je ne trouve pas que c'est égal à \alpha .. pourquoi?

Posté par
veledare : Fonction de densité 29-01-09 à 14:49

qu'est ce que tu trouves?

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 16:20

je trouve:

E(\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

=

E(\frac{X}{X-1})

mais justement je n'arrive pas a calculer ca

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 16:21

je trouve:

E(\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1})

=

E(\frac{X}{X-1})

mais justement je n'arrive pas a calculer ca

Posté par
veledare : Fonction de densité 29-01-09 à 16:49

je ne suis pas du tout spécialiste du chapitre estimation  mais E(\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}) c'est {\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}non?

Posté par
juju783méthode du maximum de vraissemblance 29-01-09 à 16:53

Bonjour

on a la fonction f(x)=

\alpha\times x^{-\alpha-} si x => 1

O sinon


On me demande de calculer un estimateur W pour \alpha par la méthode du maximum de vraissemblance

On calcul donc :
L(x_1,x_2,...,x_n; \alpha) = \alpha^n \times \prod x_i^{-\alpha-1}


Puis Ln L(x1...xn, \alpha) = nln(\alpha) - (\alpha+1)ln(\prod x_i)

On derive ensuite par rapport a alpha soit

\frac{n}{\alpha} - ln(\prod x_i) = 0

Je trouve \alpha = \frac{n}{ln(\prod x_i)}

Est ce correct ?

*** message déplacé ***

Posté par
juju783re : méthode du maximum de vraissemblance 29-01-09 à 16:54

c est
\alpha\times x^{-\alpha-1} si x => 1

*** message déplacé ***

Posté par
juju783re : Fonction de densité 29-01-09 à 17:10

On sait que E(\bar{X}) = E(X) par definition


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