Niveau Reprise d'études

Fonction Indentiquement nulle

Posté par
Milka3 17-02-22 à 14:57

Bonjour,
Je ne saisi pas bien l'implication suivant :

$S^{(n)}(0)=0$ pour tout entier n implique que S est identiquement nulle.

Faut-il utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange ? Où est-ce plus trivial que cela ?

Merci d'avance de l'aide

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 17-02-22 à 15:03

Bonjour,

La série de Taylor semble suffire seule.

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 17-02-22 à 15:27

Bonjour,

c'est faux en général, par exemple pour la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-1/x^2}$ .

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 17-02-22 à 15:35

Bonjour,

Si tu considères la fonction $x\mapsto e^{-1/x^2}$ , elle n'est pas identiquement nulle au voisinage de $0$ et pourtant, son développement de Taylor l'est.

Tu peux regarder là

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 17-02-22 à 15:36

Pardon, je n'avais pas vu.

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 17-02-22 à 16:19

Bonjour Milka3,

Il serait bien de donner toutes les hypothèses ainsi que le contexte de la question. Car, comme précisé avant, avec seulement S indéfiniment dérivable, c'est faux.

Par contre, avec des hypothèses supplémentaires sur S, le résultat peut être vrai.

Du coup, que sait-on sur S?

Posté par re : Fonction Indentiquement nulle 18-02-22 à 09:44

Bonjour à toutes et tous,
Merci de vos retour ! Oui, voici le contexte :

Soit S une série entière de rayon de convergence non nul. On suppose qu'il existe a>0 tel que, pour tout x∈]−a,a[, S(x)=0.

Justifier que S est identiquement nulle.

J'ai supposé qu'avec la somme de Taylor on avait ce résultat, me trompe-je ?