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A ok pas de problème j'étais un peu débousolé...
Et mon analyse du shéma est elle juste ??
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Je pense que tu as compris le principe, seulement cela reste tres mal formulé
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Oui ma question était plutôt est-ce que 2 ensembles différents peuvent avoir la MEME fonction caractéristique.
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Comme je n'arrive pas bien a m'exprimer j'ai fait un petit shema pour voir si j'ai compris marci de votre comprehension à tous !!
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Merci beaucoup à tous pour votre aide !!!
Il faut donc que l'application bijective de la première phrase en gras de mon problème soit f ??
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Donc pour cela il faut que je prouve (après avoir prouvé que f était une application injective) que cette même application est surjective. Don que pour tout élémment de F (y) (donc toutes les fonction de E dans {0,1}) il y ' au moins un élément dans P(E) (x), tel que y soit l'image de x ??
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Pardon, rectification:
Donc pour cela il faut que je prouve (après avoir prouvé que f était une application injective) que cette même application est surjective. Donc que pour tout élément y de F (donc toutes les fonction de E dans {0,1}) il y ' au moins un élément x dans P(E) , tel que y soit l'image de x ??
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Oui. En des termes plus compréhensibles : toute fonction de E dans {0,1} correspond à une partie de E. D'après toi laquelle? Il faut que tu construises cette partie de E.
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Quelle partie?
Je te donne une fonction, disons h, qui va de E dans {0,1}. Es-tu capable de lui associer un sous ensemble de E?
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Oui forcement un sous-ensemble de E s'associera a cette fonction puisqu'elle existe
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J'ai l'impression que tu ne comprends absolument rien de ce que l'on fait depuis le début.
Tu as une fonction f qui va de P(E) dans un ensemble que je vais appeler F(E,{0,1}) qui est l'ensemble des fonctions de E dans {0,1}.
On veut montrer que f est bijective, donc en particulier en ce moment on essaie de montrer que f est surjective.
Pour montrer que f est surjective, il faut prendre un élément de l'espace d'arrivée (qui est ici F(E,{0,1}), donc un ensemble de FONCTIONS qui partent de E et qui vont dans {0,1}) et montrer que cet élément a un antécédent.
On prend donc un élément de l'ensemble d'arrivée, cet élément est donc une fonction de E dans {0,1}, je décide de l'appeler h. On chercher à montrer qu'il existe une partie (disons A) de E telle que
f(A)=h
Comment trouves-tu le A? Comment le construis-tu si tu préfère, où comment tu peux t'assurer qu'un tel A existe. Bref comment montrer que f est surjective!!!?????
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Le but est de trouver un antécédent de h par la fonction f... tu ne peux pas dire "soit A un antécédent de h par f" parce que l'on cherche justement à prouver qu'il en existe un!!
Si f était la fonction x->x^2 de R dans R et que je te demandais de trouver un antécédent de 2 ou de -2 par f, tu me dirais quoi?
Alors ici comment tu fais?
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-2 n'en a pas
2 a -1 et 1 pour antécédents dans R
Doonc f ne serait pas surjective dans ce cas
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Mais cela depend de la fonction f si on considére la fonction qui à x associe x^2 alors A= 
h ou/et -h
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Pourquoi h serait la fonction caractéristique d'un quelconque ensemble? C'est justement ça que tu dois prouver ...
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Et bien c'est pour ca que je demande votre aide parceque je n'arrive pas a le prouver...
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Oui biensur, je croyais avoir compris...
Merci beaucoup pour ton aide !! C'est vrai que j'ai des difficultés :S
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Non mais je veux dire je t'ai donné les preuves qu'il faut ....
attends je réecris
Si A =/= B il existe y dans A et pas dans B (par exemple)
Alors XA(y) = 1 et XB(y) = 0 donc XA =/= XB
Cette application de P(E) est injective
Soit f une application de E dans {0,1}
On considère l'ensemble A défini par : si f(y) = 0 alors y n'appartient pas à A et si f(y) = 1, y appartient à A
On a donc f = xA et l'application de P(E) est surjective
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Oui mais je ne comprends pas comment vient ici le f(y) ? Sachant que c'est exactement la meme fonction que XA(y), non ??
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Mais c'est qui XA? il faut avoir défini A pour définir XA et c'est justement avec f que tu définies A (et donc f=XA)
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J'ai enfin compris ce que je n'arrive pas à assimiler !
Je ne peux l'esprimer que par un exemple:
Prenons un ensemble E:={-1,1} et les sous ensembles A:={-1} et B:={1}.
Voila maintenons nommons P(E) l'ensemble des parties de E; et F l'ensemble des fonctions de E dans {0,1}.
Supposons les fonctions caracteristiques XA et XB, donc XA(-1)=1 et XA(1)=0 et Xb(1)=1 et XB(-1)=0.
Nous voulons prouver pour la surjectivité que pour tout élément y de F il existe un élément X de P(E) tel que y=Xx n'est-ce pas ??
Or ici nous travaillons sur des applications et prenons un élément de F, G(x)=x² (cette application est bien une application de E dans {0,1} car (-1)²=1 et 1²=1). Or G(x)
XA et de XB,
G(y)=1Si y
A
=1Si y
A
Donc pour tout élément y de F, y n'est pas forcément égale a XA par f.
Sachant que j'ai des difficultés a m'exprimer j'ai décidé de remettre un petit schéma:
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Bonjour 
,
Donc tu as des problèmes pour montrer que f est surjective.
Ton "contre-exemple" vient du fait que tu as oublié des éléments dans P(E), il n'y a pas que {-1} et {1}.
Les parties de E sont au nombre de quatre :
A={-1}
B={1}
C=
(la partie vide)
et enfin E={-1,1} tout entier.
Ta fonction G prend la valeur 1 pour tout x de E : c'est la fonction caractéristique de E, G=XE.
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