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Fonctions dans es ensembles ?
Bonjour est-ce que quelqu'un pourrait m'aider a comprendre cet exemple et serait aimable pour me l'ilustrer par un exemple s'il vous plait ??? Pour la dernière partie (en gras) je voudrais jute une explication ???
Si E est un ensemble, on peut associer une fonction importante XA à toute
partie A de E ; la fonction XA (dite fonction caractéristique de A) est la fonction de E dans l'ensemble {0,1} définie par
XA(x) :={1 si x 2 A
{0 sinon
On vérifiera en exercice que si A et B sont deux parties de E, alors, pour tout x appartenant à E,
XAUB(x) = max(XA(x); XB(x))
XAnB(x) = XA(x)*XB(x)
XE/A(x) = 1 - XA(x) :
Ceci étant posé, on constate que l'application de P(E) dans l'ensemble des fonctions de E dans {0,1}
qui à A associe XAest une bijection. Elle met donc en bijection l'ensemble P(E) des parties de E avec
l'ensemble des applications de E dans {0,1} que l'on note {0,1}E.
Merci d'avance 
!
Bonjour est-ce que quelqu'un pourrait m'aider a comprendre cet exemple et serait aimable pour me l'ilustrer par un exemple s'il vous plait ??? Pour la dernière partie (en gras) je voudrais jute une explication ???
Si E est un ensemble, on peut associer une fonction importante XA à toute partie A de E ; la fonction XA (dite fonction caractéristique de A) est la fonction de E dans l'ensemble {0,1} définie par
XA(x) :={1 si x appartient a A
{0 sinon
On vérifiera en exercice que si A et B sont deux parties de E, alors, pour tout x appartenant à E,
XAUB(x) = max(XA(x),XB(x))
XAnB(x) = XA(x)*XB(x)
XE/A(x) = 1 - XA(x) :
Ceci étant posé, on constate que l'application de P(E) dans l'ensemble des fonctions de E dans {0,1} qui à A associe XA est une bijection. Elle met donc en bijection l'ensemble P(E) des parties de E avec l'ensemble des applications de E dans {0,1} que l'on note {0,1}E.
Merci d'avance !
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* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *
Bonsoir,
il est évident qu'à chaque partie A de P(E) on associe une application et une seule.
Réciproquement, soit X une application de E dans {0;1}.
Par définition les éléments de E dont l'image est 1 forment un sous ensemble A de E.
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Bonsoir,
>> Uru
Attention... Tu fais du multipost avec 
Fonctions dans es ensembles ?
Pour des exemples, regarde ici
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Oui pardon je ne sais pas comment effacer des posts lorsque je fais des erreurs :S...
Merci pour l'exemple
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Merci beaucoup !!!
Mais pourquoi est-il écrit dans mon post: "est la fonction de E dans l'ensemble {0,1}"
D'où vient donc cet ensemble {0,1} ??
Et je n'arrive toujours pas a comprendre ce qui est en gras 
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Bonjour,
on met simplement en bijection un ensemble avec sa fonction caractéristique.
L'application est bien définie (à un ensemble correspond bien une seule fonction caractéristique) et il n'est pas difficile de montrer que cette application est bien une bijection.
Donne toi une fonction f de {0,1}^E, alors es-tu capable de trouver un ensemble A dont f serait la fonction caractéristique? (indice: pose A l'ensemble des x tels que f(x)=1).
Donne toi deux ensembles A et B distincts, est-ce que A et B peuvent avoir la même fonction caractéristique?
Merci beaucoup !!!
Mais est-ce que le fait que la fonction soit {0,1}E implique forcèment que x ne peut prendre que ces deux valeurs (0 ou 1).
Par définition F^E est l'ensemble des fonctions de E dans F, donc on ne veut que les valeurs atteintes ne soient que des valeurs de F (ici 0 ou 1).
on constate que l'application de P(E) dans l'ensemble des fonctions de E dans {0,1} qui à A associe XA est une bijection
Comment constate-t-on cela s'il vous plait ??
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Si A =/= B il existe y dans A et pas dans B (par exemple)
Alors XA(y) = 1 et XB(y) = 0 donc XA =/= XB
Cette application de P(E) est injective
Soit f une application de E dans {0,1}
On considère l'ensemble A défini par : si f(y) = 0 alors y n'appartient pas à A et si f(y) = 1, y appartient à A
On a donc f = xA et l'application de P(E) est injective
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Merci beaucoup c'était très, très clair ??
Une dernière question comment peut on prouver la deuxième condition pour la bijection c'est à dire comment prouver que pour tout z de E il existe un y appartenant a P(E) tel que z=f(y) (Surjection) ??
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J'avais déjà répondu à tout ça dans ton doublon...
Tu as tendance à faire du multipost et à ne pas lire tout ce qu'on te dit...
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Non pardon la 2e partie du post c'était pour dire que l'application est surjective lol j'ai fait une faute de frappe!
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Merci beaucoup supernick !
Tu viens de résoudre toute les questions que je me posais à propos de mon problème, c'est Supeeeeer !!
C'était très bien expliqué, merci vraiment !!
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Si A =/= B il existe y dans A et pas dans B (par exemple)
Alors XA(y) = 1 et XB(y) = 0 donc XA =/= XB
Cette application de P(E) est injective
Excusez moi mais comment puis je faire pour prouver cet injection ??
Puis que dans ce cas on a:
y
P(E)(XA(y)= XB(y))
(y=y)
Ce qui n'est pas le cas et pas rigoureux non ??
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Si deux parties A et B sont distinctes, n'es tu pas capable de trouver un a qui est dans A mais pas dans B?
Que dire des fonctions caractéristiques de A et de B évaluées en a?
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(ou un b qui est dans B mais pas dans A, mais sans perte de généralité j'ai choisi qu'il existait un élément de A qui n'était pas dans B)
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Merci, j'ai tout à fait compris ce que vous vouulez dire mais je ne sait pas l'ecrire sous forme d'assertion ??
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Je sais que XA(a)=1 et XB(a)=0 mais cela ne répond pas aux conditions d'une injection. Car pour l'injection il faut prendre 2 valeurs différentes et 1 seule fonction, et ici on prend une seule valeur (a) et 2 fonctions différentes.
D'ou ma question ??
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Tu ne comprends pas
On ne doit pas montrer que XA est injective
On doit montrer que l'application A -> XA est injective
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Ah oui mince j'avais confondu tu avais raison supernick je prenais XA comme une application !!
Du coup est-ce que l'assertion suivante es juste : AP(E), BP(E)(A
Bf(A)f(B)) ??
f etant l'application qui associe x à Xx.
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XA est bien une application mais de E dans {0,1}
f est une application de P(E) dans F(E,{0,1})
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Merci, mais encore pardon donc est-ce que ma dernière ligne est correct ??
f etant l'application qui associe x à Xx.
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Oui
Mais x fais gaffe c'est pas un élément de E mais c'est une partie de E. L'usage veut que l'on utilise plutôt des majuscules style A ou B
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Oui mais cette partie de E est un élément de P(E)...
Enfin oui tu as raison, merci beaucoup 
!!
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Pour la surjectivité puis je écrire: yE (sachant qu'y=0 ou 1),
xà P(E) (A ou B), y=XA(x)
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C'est bien ce que je disais, tu n'as pas compris de quoi tu parles :p
Non ce n'est pas ça
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Ah oui pardon encore une fois on veut que f(A) soit surjective, j'ai encore confondus
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Comprends tu ce que prends la fonction f comme argument et ce qu'elle renvoie?
Comprends tu ce qu'est une fonction injective et une fonction surjective?
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Pour la première question j'ai du mal :S...
Pour la deuxième oui:
Une fonction d'un ensemble (*) dans un autre (**) qui est injective c'est un fonction qui pour un argument proposé (du premier ensemble(*)) ne possède qu'une image(qui elle est dans le second ensemble (**)), une fonction surjective c'est une fonction qui pour n'importe qu'elle element(du second ensemble(**)) il y a au moins un element (du premier ensemble(*)) tel que l'élément du second ensemble soit l'image de l'element du premier.
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Pardon
Pour la première question j'ai du mal :S...
Pour la deuxième oui:
Une fonction d'un ensemble (*) dans un autre (**) qui est injective c'est un fonction qui pour une image proposé (du second ensemble(**)) ne possède qu'un argument(qui elle est dans le second ensemble (*)), une fonction surjective c'est une fonction pour laquelle n'importe quel element(du second ensemble(**)) il y a au moins un element (du premier ensemble(*)) tel que l'élément du second ensemble soit l'image de l'element du premier.
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Ok, la fonction f va de quel ensemble dans quel ensemble?
Que signifie qu'elle soit injective et surjective (dans ce cas précis) ?
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elle va de l'ensemble P(E) dans E.
Ici si elle est injective cela veut dire que si l'image est XA alors l'argument est A.
Et elle est surjective car pour tout element XA (qui est dans E je suppose) il y'a au moin un element A (de P(E) je suppose)tel que XA soit l'image de ce A (je suppose toujours :S)
Je ne suis pas sur mais bon...
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Non elle prend sous ensemble de E (disons A) et elle renvoie une fonction de E dans {0,1}.
Donc si A est une partie de E alors f(A) est une fonction.
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Comprends tu ce qu'est une fonction caractéristique?
Supernick a clarifié un peu tout ça...
Es-tu d'accord que toute fonction de E dans {0,1} correspond bien à un ensemble?
Es-tu d'accord que deux ensembles différents ne peuvent avoir de fonction caractéristique différente?
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Bon allez j'essaye une tentative pour lire le shéma de supernick
f est la fonction qui va de P(E) dans l'ensemble des fonctions de E (**) qui donnent 0 ou 1
Cette fonction prend l'élément A de P(E) (aui est enfaite une partie de E) et donne son image XA (qui va donc etre dans l'ensemble (**))
Cet XA, faisant donc maintenant partie des fonctions de E pour lesquelles ont obtient 0 ou 1, va donc aller de E vers {0,1}.
XA va prendre un élément x de E et donner une nouvelle fonction qui prendra la valeur 0 ou 1 selon le sous ensemble de x (si x appartient à A alors XA(x)=1 sinon XA(x)=0)
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