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Fractions rationnelles - DES

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 05-04-08 à 23:27

Bonsoir tout le monde !

Bon, j'ai quelques problèmes avec ce genre de DSE

On pose \Large\omega _k les racines n-ièmes de l'unité \Large k\in\{0,1,...,n-1\}

Il faut simplifier : \Large F(X)=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{X-\omega_k}

Bon, OK! en réduisant en même dénominateur on peut dire que \Large F(X)=\frac{P(X)}{X^n-1} avec \Large P\in\mathbb{R}_{n-1}[X] mais là je trouve pas grand chose à faire

merci pour votre aide

Posté par
rogerdFractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:34

Bonsoir Monrow.

Ne serait-ce pas la décomposition en éléments simples de P'/P?

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:35

Bonsoir vous deux

Ca ressemble un peu à ceci : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première non ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:39

salut rogerd !

tout a fait ! j'ai trouvé avec la méthode usuelle que p(X)=(X^n-1)' et donc : P(x)=nX^{n-1}

mais avec une méthode, ils disent que c'est clair que : \Large\(\frac{P}{nX^{n-1}}\)(\omega_k)=1 comment ils ont fait?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:39

Salut guitou

en effet, mais c'est ce truc là qui m'embête !

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:40

Je te cherche la correction de mon prof !

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:49

Une récurrence, çe t'intéresse ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fractions rationnelles - DES 05-04-08 à 23:52

ne te fatigue pas avec bcp de latex ! je vais revoir si je sais faire et passer à un autre exo ^^

merci bcp

Posté par
rogerd Fractions rationnelles - 05-04-08 à 23:57

Il me semble qu'il faut prendre P=x^n - 1 et non pas sa dérivée.

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 00:01

Pour 3$\rm p\in\mathbb{N}^*, on pose 3$\rm \scr{R}(p)\Leftright\|\rm Tout polynome H scinde de racines simples x_1,...,x_p verifie :\\\fr{H'(X)}{H(X)}=\Bigsum_{k=1}^p\fr{1}{X-x_k


¤ Soit p=1

Soit 3$\rm H(X)=\lambda.(X-x_1) où 3$\rm \lambda\not=0.

Alors 3$\rm H'(X)=\lambda et 3$\rm \fr{H'(X)}{H(x)}=\fr{1}{X-x_1} (pour 3$\rm X\not=x_1) et 3$\rm \magenta\fbox{\scr{R}(1)

¤ Soit 3$\rm p\in\mathbb{N}^* tel que 3$\rm \scr{R}(p). Mq 3$\rm \scr{R}(p+1).

Soit T scindé de racines simples 3$x_0,x_1,...,x_p on pose 3$\rm T(x)=(X-x_0).H(X).

Alors H est scindé de racines simples 3$x_1,...,x_p. De plus 3$\rm T'(X)=H(X) et :

3$\rm\fr{T'(X)}{T(X)}=\fr{1}{X-x_0}+\fr{H'(X)}{H(X)} et 3$\rm \scr{R}(p) donne : 3$\rm\fr{H'(X)}{H(X)}=\Bigsum_{k=1}^p\fr{1}{X-x_k. Ainsi 3$\rm \magenta\fbox{\scr{R}(p+1)

Conclusion : Tout polynôme scindé dans 3$\rm\mathbb{C} vérifie : 3$\rm \fr{H'(X)}{H(X)}=\Bigsum_{k=1}^p\fr{1}{X-x_k

Sauf erreur

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 00:06

rogerd>> non mais avec les notations que j'ai fait sur mon premier poste c'est bien ça

guitou>> OK! Merci bcp

Merci à vous deux !

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 00:06

Oui mais moi j'avais le résultat .. toi tu n'as aucune indication ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 00:07

si si on l'a dans le cours !

Moi je voulais juste savoir pourquoi ils ont fait ce que je disais sur 23:39

Posté par
gui_toure : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 00:12

Aucune idée

Posté par
Pecere : Fractions rationnelles - DES 06-04-08 à 15:47

Les \omega_k sont des pôles simples de ta fraction rationnelle et un théorème bien connu donne :

Citation :
Si a est une racine simple du dénominateur d'une fraction rationnelle \frac{P}{Q} alors la partie polaire associée à cette racine est : \fr{P(a)}{Q^'(a)}\fr{1}{X-a}.


Appliqué à ton problème, ce théorème donne la relation de 23h39.


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