Bonjour a tous.
Voila je n'arrive pas a démontrer le résultat concernant les groupes finie suivant:
Soient G un groupe finie, gG.on a :
Eg={kIN/ gk=1} est non vide.
Voila toute reponse concernant ce resultat est la bienvenue.
Et Merci.
Bonjour
Si tu notes n le cardinal du groupe G, que peux tu dire de l'ensemble {g,g²,...,g^n,g^(n+1)} ?
Merci pour la reponse , ça ma donner une piste . Donc voila c que j'ai trouvé:
soit "*" la l.c.i du groupe G.
Puisque gG alors pour tout k de {1,...,n+1} gkG.D'ou A={g,g2,...,gn+1}est inclu dans G.
d'autre part, si on suppose que cardA est strictement superieur a cardG=n,avec AG on aura une absurdité. Donc on a necécerement cardAcardG.
Reste mnt deux cas:
Premier cas:cardA=CardG.
Puisque AG alors A=G .
Or, 1GG donc 1GA i.e: k{1,...,n+1} tel que gk=1G.
Deuxieme cas:cardA est strictement inferieur a A.
Et la je bloque....
Voila je ne sais pas si ce que j'ai écris est juste si non une autre indication peut être?
Encore Merci.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué...
La famille g,g²,...,g^(n+1) est une famille de n+1 éléments qui vit dans un ensemble à n éléments (G en l'occurence). C'est une application canonique des histoires de tiroirs et de chaussettes...^^
Salut
Je ne sais pas si c'est ce que voulais te faire dire Schumi ...
Soit |G|=n
Si les éléments de {g,g²,...,g^n,g^(n+1)} sont deux-à-deux distincts, alors c'est un sous-ensemble de n+1 éléments dans un ensemble de n éléments.
D'où la contradiction.
Donc il existe k,l avec k<l tels que $g^k=g^l$
D'où $g^{k-l}=1$
Merci beaucoups pour votre aide,c'est très clair maintenant.
Mais en fin de compte on na pas utilisé le principe des tiroirs de Dirichlet
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