Bonsoir,

il suffit de raisonner par l'absurde en appelant un générateur putatif de cet idéal.

Alors il engendrerait , donc il serait constant et non nul (en considérant les degrés); puis, en utilisant la divisibilité et en considérant les coefficients de , on aboutit au fait que cette constante vaudrait ...qui engendre bien plus que l'idéal que tu proposes! Contradiction!

salut

si (5,x²+3) est principal alors il existe P[X] tel que 5 et x²+3 soit multiple de P

est-ce possible ?

damned

salut l'homme qui tape plus vite que son ombre



(tant que c'est pas sur moi  )

Bonjour,
putatif ???
Qu'est-ce ?

suppute un peu otto

Salut carpediem et otto!

il n'y a aucune vulgarité dans mon propos non plus



mais pour rester terre à terre je dirais qu'il y a la même racine

Et pour montrer qu'un idéal est principal, comment faut-il raisonner ?

Par exemple, je veux montrer que (x³-1,x⁴-1) est principal.

x³-1 = (x-1)(x²+x+1) et x⁴-1 = (x-1) (x³+x²+x+1).
Mais après, que faire ?

Pour montrer qu'un idéal est principal il suffit que l'idéal soit engendré par un seul élément.
L'idéal (x3-1,x4-1) est engendrer par (x-1)

C'est insuffisant, ahanine:

il faut aussi prouver la réciproque, à savoir que le polynôme est lui-même engendré par et Pour cela, on peut observer que et sont premiers entre eux (on est bien sur ou sur un sous-corps de elotwist, pas en caractéristique finie au moins??) et utiliser une relation de Bezout.

oui on travaille sur [x]

Alors ce que je viens d'écrire marche.

on a d'après bezout 1=P.(X²+X+1)+Q.(X³+X²+X+1)

mais comment fait -on pour montrer que X-1 est engendré par (X-1)(X²+X+1) ?

Multiplie par de chaque côté...

LEs points d'interrogation représentent des carrés, faute de frappe...

en multipliant par (X-1) de chaque côté on obtient :
(X-1)= P.(X-1)(X²+X+1)+Q.(X³+X²+X+1)
et maintenant il faut trouver P et Q tel qu'n ait l'égalité.
P sera de degré 1 et Q de degré 0.
Est ce bien cela ?

euh deg P =deg Q= 1 plûtot

non deg P = deg Q = 0

Eh bien non!

Déjà ce que tu écris est faux, on a plutôt:

.


Il faut alors prouver que soit égal à

Vraiment, tu ne vois pas?

(X-1) = (x-1).(P.(X²+X+1)+Q.(X³+X²+X+1))
Il faut donc que P.(X²+X+1)+Q.(X³+X²+X+1)=1
donc P = -X et Q = 1

donc on a trouvé que X-1 appartient à lidéal engendré par  (X-1) (X²+X+1) et (X-1)(X³+X²+x+1) donc (x³-1, x⁴-1)est principal.

Pour résumer pour montrer qu'unidéal est principal il faut donc :
1- montrer que l'idéal est engendré par un seul élément
2- et que cet élément est lui même engendré par l'idéal

C'est faux : tu sais déjà que , tu les as choisir comme ça!

Reprends donc mon message précédent!


Il faut prouver qu'on peut écrire:



Que valent les quelque chose, d'après ?

Je voulais dire:

Que valent les quelque chose, d'après:

?

On va avoir :
X-1 = (X-1).P.(X²+X+1)+(X-1).Q.(X³+X²+X+1)

Partie...

Et en plus sans un merci... Je ne crois pas que je t'aiderai à nouveau.

les quelque chose valent P.(X-1) et Q.(X-1)

le premier vaut P.(X-1) et le deuxième vaut Q.(X-1)

Oui

c'est comme ça que je peux dire que (X-1) est engendré par (X-1)(X²+x+1) et (X-1)(X³+X²+X+1)?

Oui

et donc (x³-1),x⁴-1)=(x-1) et donc c'est un idéal principal.

Oui

Merci !
Je vais retravailler tout ça et m'entraîner pour bien tout assimiler.

De rien