Bonjour !
Pouvez-vous, s'il vous plait m'expliquer comment faire pour montrer qu'un idéal n'est pas principal. par exemple comment faire pour montrer que (5,x²+3) n'est pas principal dans [x].
Par avance, merci
Elotwist
Bonsoir,
il suffit de raisonner par l'absurde en appelant un générateur putatif de cet idéal.
Alors il engendrerait , donc il serait constant et non nul (en considérant les degrés); puis, en utilisant la divisibilité et en considérant les coefficients de , on aboutit au fait que cette constante vaudrait ...qui engendre bien plus que l'idéal que tu proposes! Contradiction!
salut
si (5,x²+3) est principal alors il existe P[X] tel que 5 et x²+3 soit multiple de P
est-ce possible ?
Salut carpediem et otto!
il n'y a aucune vulgarité dans mon propos non plus
mais pour rester terre à terre je dirais qu'il y a la même racine
Et pour montrer qu'un idéal est principal, comment faut-il raisonner ?
Par exemple, je veux montrer que (x3-1,x4-1) est principal.
x3-1 = (x-1)(x²+x+1) et x4-1 = (x-1) (x3+x²+x+1).
Mais après, que faire ?
Pour montrer qu'un idéal est principal il suffit que l'idéal soit engendré par un seul élément.
L'idéal (x3-1,x4-1) est engendrer par (x-1)
C'est insuffisant, ahanine:
il faut aussi prouver la réciproque, à savoir que le polynôme est lui-même engendré par et Pour cela, on peut observer que et sont premiers entre eux (on est bien sur ou sur un sous-corps de elotwist, pas en caractéristique finie au moins??) et utiliser une relation de Bezout.
on a d'après bezout 1=P.(X²+X+1)+Q.(X3+X²+X+1)
mais comment fait -on pour montrer que X-1 est engendré par (X-1)(X²+X+1) ?
en multipliant par (X-1) de chaque côté on obtient :
(X-1)= P.(X-1)(X²+X+1)+Q.(X3+X²+X+1)
et maintenant il faut trouver P et Q tel qu'n ait l'égalité.
P sera de degré 1 et Q de degré 0.
Est ce bien cela ?
Eh bien non!
Déjà ce que tu écris est faux, on a plutôt:
.
Il faut alors prouver que soit égal à
Vraiment, tu ne vois pas?
(X-1) = (x-1).(P.(X²+X+1)+Q.(X3+X²+X+1))
Il faut donc que P.(X²+X+1)+Q.(X3+X²+X+1)=1
donc P = -X et Q = 1
donc on a trouvé que X-1 appartient à lidéal engendré par (X-1) (X²+X+1) et (X-1)(X3+X²+x+1) donc (x3-1, x4-1)est principal.
Pour résumer pour montrer qu'unidéal est principal il faut donc :
1- montrer que l'idéal est engendré par un seul élément
2- et que cet élément est lui même engendré par l'idéal
C'est faux : tu sais déjà que , tu les as choisir comme ça!
Reprends donc mon message précédent!
Il faut prouver qu'on peut écrire:
Que valent les quelque chose, d'après ?
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