Niveau Licence Maths 1e ann

identité de Vandermonde

Posté par
fabienlac 06-12-09 à 12:45

Bonjour voila je doit déduire de l'identité de VANDERMONDE que voici :_k=0^p C_p^kC_q^n-k=C_p+qⁿ
L'égalité suivante :

_k=0^[(n-1)/2] ((n-2k)/n * C_n^k)²=1/n*C_2n-2^n-1

Alors bon je bloque depuis un petit momment maintenant si quelqu'un a une idée ?? Merci

Posté par re : identité de Vandermonde 06-12-09 à 13:25

Personne ?

Posté par re : identité de Vandermonde 07-12-09 à 21:27

toujour rien ???

Posté par re : identité de Vandermonde 07-12-09 à 21:29

bonjour

as-tu fait une recherche sur l'île ?

[lien]

Posté par re : identité de Vandermonde 07-12-09 à 22:22

Bonjour,

D'abord le premier membre est égal à la moitié du de 0 à n.
Ensuite on écrit n-2k=(n-k) - k , on coupe en deux et on simplifie avec les factorielles; on obtient:
$4$\frac12\Bigsum_{k=0}^n $C_{n-1}^k-C_{n-1}^{n-k}$^2$ .
On développe le carré:
$4$\frac12\Bigsum_{k=0}^n $C_{n-1}^k$^2+\frac12\Bigsum_{k=0}^n $C_{n-1}^{n-k}$^2-\Bigsum_{k=0}^nC_{n-1}^kC_{n-1}^{n-k}\$
puis on applique trois fois la formule de Vandermonde (avec $4$C_{n-1}^k=C_{n-1}^{n-1-k}$ ).