Bonjour a toute et a tous,
Je suis actuellement en seconde et mon professeur m'a donné un exercice maison. La question qui me pose problème est simple mais je bloque ..
Résoudre : x² - 20x - 400 < 0
C'est une inéquation polynome de degré 2 mais je n'arrive pas a la faire.
Pourriez-vous m'aider a la résoudre et aussi m'apporter une aide/méthode si je recroise un calcul de ce type.
Non car la racine carrée de (a² + b²) n'est pas (a + b) !
Tu n'as pas étudié les trinômes du second degré ? Le discriminant ? La forme canonique d'un trinôme ?
Pour notre calcul, cela ferait :
x2 - 20x - 400
f(x) = a( x - alpha )² + beta
f(x) = 1( x² - 2*alpha*x + alpha² ) + beta
f(x) = ( x² - 2*10*x + 10² ) - 500
f(x) = ( x² - 20x + 100 ) - 500
f(x) = x² - 20x - 400 ?
Donc on a trouvé la forme canonique mais comment répondre a la question suivante :
Résoudre l'inéquation :
x² - 20x - 400 < 0 (ou égale)
Soit :
(x - 10)² - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10)(x + 10) - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10 - √500)(x + 10 + √500) < 0
(x - 10 - √500) = 0 ou (x + 10 + √500) = 0
Et ensuite, on fait le tableau de signe ?
Voilà, donc j'ai continué mon exercice sans problème jusqu'au moment où on me dit :
Résoudre algébriquement le problème.
Voici le problème :
Soit x un réel strictement supérieur à 20.
On dispose de deux cuves :
_ la première est un cube de coté x cm
_ la deuxième est un pavé doit à base carrée, dont le coté mesure 20 cm de plus que celui du cube ( x + 20 ), sa hauteur mesure 20 cm de moins que celle du cube ( x - 20 ).
On souhaite détreminer les valeurs de x de facon que la cuve cubique ait le volume le plus grand.
Comment faire ?
Exprime en fonction de x le volume de chaque cuve, puis écris l'inéquation traduisant le souhait de l'énoncé.
x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x(aucube) - 20x² - 359x - 8000
Hum ... J'ai du me tromper, ca m'a l'air un peu énorme..
x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x² - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x (aucube) - 21x² - 359x - 8000
Ah oui --' Juste que je me suis trompé en écrivant..
Donc : x * x * x < x (au cube) - 20x² + 40x² - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x (aucube) - 20x² - 400x - 8000
x^3 - x^3 - 20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x = -8000
-20x + 20x = -√8000 ??
J'ai essayé de supprimer ce carré qui m'empeche de continuer sinon.
Pour cela, j'ai fais la racine carré de 400 et la racine de 8000.
2ème ligne : exact. Le reste est fantaisiste.
L'inéquation devient donc - 20x² + 400x + 8000 > 0 .
Simplifie d'abord par 20, puis constate qu'il s'agit d'étudier le signe d'un trinôme du second degré qui est le même, au signe près, que celui du début.
Donc si l'on simplifie par 20, voilà ce que ca donne :
-x² + 20x + 400 > 0
Euh .. Oui, les signes sont inversés par rapport a l'inéquation de base.
Et ensuite, que dois-je faire ?
Cette inéquation, tu l'as déjà résolue à 10h52. Il ne manque que le ou les intervalles où doit se situer x pour que l'inéquation soit satisfaite.
Ah ben oui ! car
-x² + 20x + 400 > 0 c'est la même chose que
x² - 20x - 400 < 0
Donc, j'ai fait mon tableau de signe sur ma feuille et j'ai trouvé :
S = ] -10 - √500 ; 10 + √500 [
Pour faire ce tableau, j'ai dis que x² - 20 - 400 = ( x - 10 )² - 500 ( c'est la fonction cannonique )
J'ai juste une petite question :
Pourquoi est ce que cela devient :
-x² + 20x + 400 > 0 et pas -x² + 20x + 400 = 0 ?
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