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Niveau seconde
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Inéquation

Posté par
Thiib
13-04-12 à 21:35

Bonjour a toute et a tous,

Je suis actuellement en seconde et mon professeur m'a donné un exercice maison. La question qui me pose problème est simple mais je bloque ..

Résoudre : x² - 20x - 400 < 0
C'est une inéquation polynome de degré 2 mais je n'arrive pas a la faire.

Pourriez-vous m'aider a la résoudre et aussi m'apporter une aide/méthode si je recroise un calcul de ce type.

Posté par
Priam
re : Inéquation 13-04-12 à 22:13

As-tu cherché les racines du trinôme ?

Posté par
Thiib
re : Inéquation 15-04-12 à 16:04

Euh .. Non.
Comment dois-je procéder ?

Posté par
Thiib
re : Inéquation 15-04-12 à 16:07

x - √20x - 20 < 0

Posté par
Priam
re : Inéquation 15-04-12 à 17:39

Non car la racine carrée de  (a² + b²)  n'est pas  (a + b) !
Tu n'as pas étudié les trinômes du second degré ? Le discriminant ? La forme canonique d'un trinôme ?

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:31

J'ai seulement étudié la forme canonique d'un trinôme de la forme
f(x)= a( x - alpha ) + beta

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:32

f(x)= a( x - alpha )² + beta

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:40

Pour notre calcul, cela ferait :

x2 - 20x - 400
f(x) = a( x - alpha )² + beta
f(x) = 1( x² - 2*alpha*x + alpha² ) + beta
f(x) = ( x² - 2*10*x + 10² ) - 500
f(x) = ( x² - 20x + 100 ) - 500
f(x) = x² - 20x - 400 ?

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:42

Forme canonique :

f(x) = ( x - 10 ) + 500

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:44

f(x) = ( x - 10 )² - 500

Posté par
Priam
re : Inéquation 16-04-12 à 10:47

Exact. Maintenant, tu peux factoriser f(x).

Posté par
Thiib
re : Inéquation 16-04-12 à 10:52

Donc on a trouvé la forme canonique mais comment répondre a la question suivante :

Résoudre l'inéquation :
x² - 20x - 400 < 0 (ou égale)

Soit :
(x - 10)² - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10)(x + 10) - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10 - √500)(x + 10 + √500) < 0
(x - 10 - √500) = 0 ou (x + 10 + √500) = 0

Et ensuite, on fait le tableau de signe ?

Posté par
Priam
re : Inéquation 16-04-12 à 11:01

Oui.
Note que   10 500 peut s'écrire  10(1 5) .

Posté par
Thiib
re : Inéquation 17-04-12 à 11:32

Voilà, donc j'ai continué mon exercice sans problème jusqu'au moment où on me dit :

Résoudre algébriquement le problème.
Voici le problème :

Soit x un réel strictement supérieur à 20.
On dispose de deux cuves :
_ la première est un cube de coté x cm
_ la deuxième est un pavé doit à base carrée, dont le coté mesure 20 cm de plus que celui du cube ( x + 20 ), sa hauteur mesure 20 cm de moins que celle du cube ( x - 20 ).

On souhaite détreminer les valeurs de x de facon que la cuve cubique ait le volume le plus grand.
Comment faire ?

Posté par
Priam
re : Inéquation 17-04-12 à 12:26

Exprime en fonction de  x   le volume de chaque cuve, puis écris l'inéquation traduisant le souhait de l'énoncé.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 17-04-12 à 23:53

x * x * x ( x au cube ) < ( x + 20 )²( x - 20 )

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 08:43

Maintenant, développe le second membre et simplifie.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 11:48

x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x(aucube) - 20x² - 359x - 8000

Hum ... J'ai du me tromper, ca m'a l'air un peu énorme..

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 12:35

41x  ???

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 15:43

x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x² - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x (aucube) - 21x² - 359x - 8000

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 16:04

Mais d'où sort ce 41x ou 41x² ?  40x*x = 40x².

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 16:10

Ah oui --' Juste que je me suis trompé en écrivant..

Donc : x * x * x < x (au cube) - 20x² + 40x² - 800x + 400x - 8000
       x * x * x < x (aucube) - 20x² - 400x - 8000

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 16:28

Corrige l'erreur de signe de la dernière ligne et simplifie-la.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 16:34

x * x * x < x (aucube ) + 20x² - 400x - 8000
Et ...

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 16:39

Mais x*x*x , n'est-ce pas la même chose que  x³ ?

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 17:36

Ben si mais je le sais déjà ca.
J'aurais pu mettre x * x * x (aucube) en fait.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 18-04-12 à 18:50

Donc x^3 < x^3 + 20x² - 400x - 8000

Posté par
Priam
re : Inéquation 18-04-12 à 19:38

Alors, retranche x³ de chaque membre de l'inéquation.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 12:25

x^3 - x^3 - 20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x = -8000
-20x + 20x = -√8000 ??

J'ai essayé de supprimer ce carré qui m'empeche de continuer sinon.
Pour cela, j'ai fais la racine carré de 400 et la racine de 8000.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 12:26

0 = -√8000
Mais où est le x..

Posté par
Priam
re : Inéquation 19-04-12 à 12:40

2ème ligne : exact. Le reste est fantaisiste.
L'inéquation devient donc  - 20x² + 400x + 8000 > 0 .
Simplifie d'abord par 20, puis constate qu'il s'agit d'étudier le signe d'un trinôme du second degré qui est le même, au signe près, que celui du début.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 13:59

Donc si l'on simplifie par 20, voilà ce que ca donne :

-x² + 20x + 400 > 0
Euh .. Oui, les signes sont inversés par rapport a l'inéquation de base.

Et ensuite, que dois-je faire ?

Posté par
Priam
re : Inéquation 19-04-12 à 14:44

Cette inéquation, tu l'as déjà résolue à 10h52. Il ne manque que le ou les intervalles où doit se situer  x  pour que l'inéquation soit satisfaite.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 15:29

Ah  ben oui ! car
-x² + 20x + 400 > 0 c'est la même chose que  
x² - 20x - 400 < 0

Donc, j'ai fait mon tableau de signe sur ma feuille et j'ai trouvé :

S = ] -10 - √500 ; 10 + √500 [

Pour faire ce tableau, j'ai dis que x² - 20 - 400 = ( x - 10 )² - 500 ( c'est la fonction cannonique )

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 15:56

J'ai juste une petite question :

Pourquoi est ce que cela devient :
-x² + 20x + 400 > 0 et pas -x² + 20x + 400 = 0 ?

Posté par
Priam
re : Inéquation 19-04-12 à 16:33

C'est bien d'une inéquation qu'il s'agit, à résoudre pour répondre à la question de 11h32.

Posté par
Thiib
re : Inéquation 19-04-12 à 17:36

Ah d'accord ! Merci.

Posté par
Priam
re : Inéquation 19-04-12 à 18:25

Il s'agit bien d'une inéquation à résoudre pour répondre à la question de 11h32.

Posté par
Priam
re : Inéquation 19-04-12 à 18:26

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