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inequation

Posté par
samim 22-11-23 à 20:34

bonj a tt le monde et merci pour votre aide
montrer pour tout reel a
a^14-a^13 +a^8-a^5+a^2-a+1>0

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 22-11-23 à 20:53

Bonjour,
Merci de poster dans le bon forum et le bon niveau et d'éviter le style sms.
"Bonjour à tout le monde".

Qu'as-tu tenté pour démontrer l'inégalité ?

Posté par
samimre : inequation 22-11-23 à 22:12

j ai envisage les cas a>1 maispour a<1 j,ai eu un probleme

Posté par
carpediemre : inequation 22-11-23 à 22:21

salut

le cas a \le 0 est élémentaire d'après la règle des signes

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 23-11-23 à 06:33

Le cas a compris entre 0 et 1 utilise le +1

Posté par
fabo34re : inequation 23-11-23 à 09:03

Je ne sais pas si cette forme peut aider:

a (a - 1) (a⁴ (a⁸ + a² + a + 1)+1)+1

sachant que a² + a + 1>0, l'inégalité est immédiate pour a>1 et a<0
mais pour 0<a<1 ?

Posté par
carpediemre : inequation 23-11-23 à 10:27

la règle de comparaison des puissances d'un réel sur les intervalles [0, 1] et [1 , +oo[ suffit pour conclure par simple permutation des termes
la remarque de Sylvieg est nécessaire pour conclure

Posté par
fabo34re : inequation 25-11-23 à 21:10

Pas de nouvelles de samim?
Bon. Je passai furtivement ici et je me disais que j'aurais bien aimé avoir une solution. Ca doit être tout bête, mais je ne l'ai pas.
carpediem? Sylvieg?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 26-11-23 à 07:36

On peut envisager 3 cas :
a 1
a 1
-1 < a < 1
Lequel ou lesquels te posent problème ?

Posté par
fabo34re : inequation 26-11-23 à 09:48

Avec la comparaison des puissances, je ne vois pas l'astuce pour conclure sur [0;1] .

Posté par
carpediemre : inequation 26-11-23 à 10:30

la règle des signes permet de conclure sur l'intervalle ]-oo,  0]

la comparaison des fonctions puissances x \mapsto x^n permet de conclure :
a/ sur l'intervalle [0, 1]
b/ sur l'intervalle [1, +oo[

en regroupant judicieusement les termes

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 26-11-23 à 11:01

Bon, je n'étais pas bien réveillée...
On peut envisager 3 cas :
a 1
a 0
0 < a < 1

Posté par
fabo34re : inequation 26-11-23 à 11:47

Je l'ai!
On réécrit: a^2-a+1= (a-1)^2+a
Ce qui donne:

(a-1)^2+(a-a^5)+(a^8-a^{13})+a^{14}

cqfd pour [0;1] en appliquant la règle des puissances!
Ou en écrivant (a-1)^2+a(1-a^4)+a^8(1-a^{5})+a^{14}

Pour les autres intervalles, on peut conclure directement.

Posté par
carpediemre : inequation 26-11-23 à 12:12

même pas besoin de factorisation !!

sur [0, 1] f(a) = a^{14} + (a^8 - a^{13}) + (a^2 - a^5) + (1 - a) (le 1 est nécessaire)

sur [1, + oo[  f(a) = (a^{14} - a^{13}) + (a^8 - a^5) + (a^2 - a) + 1 (le 1 est inutile) (*)

(*) le 1 peut être nécessaire pour une inégalité stricte

Posté par
fabo34re : inequation 26-11-23 à 12:20

Merci carpediem
Pourquoi vais-je chercher midi à quatorze heures ? Des fois je me mettrais des baffes.

Posté par
carpediemre : inequation 26-11-23 à 12:27

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 26-11-23 à 12:34

Si on veut l'inégalité stricte, il me semble plus simple de travailler sur l'intervalle ouvert ]0;1[ plutôt que sur l'intervalle fermé [0;1] :
Pour a 1 on a f(a) 1 ; donc f(a) > 0.
Pour a 0 idem.
Reste le cas 0 < a < 1 où peut être utilisé 1-a > 0 ou a14 > 0.

Posté par
samimre : inequation 29-11-23 à 22:17

Merci bcp

Posté par
carpediemre : inequation 29-11-23 à 23:46

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : inequation 30-11-23 à 07:24

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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