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Inéquation incertitude sur le résultat

Posté par
hbx360 08-02-22 à 21:58

Bonjour,

J'ai l'inéquation suivante dans mon livre de math :

x+1 < \sqrt{x + 2}

Domaine de définition pour la racine :

x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-2

Puis :

(x + 1)² < x + 2 \Leftrightarrow x² + x -1 < 0
On trouve :

\\ x_{1} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ x_{2} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
Et après avoir fait le tableau de variation on à la solution suivante :

S = \left[ -1; \frac{-1+\sqrt{5}}{2} [

Mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi ce n'est pas -2 à la place de -1 dans la solution parce que j'ai testé en remplaçant -2 dans l'inéquation de départ et le résultat et valide.

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
heklare : Inéquation incertitude sur le résultat 08-02-22 à 22:24

Bonsoir

parce qu'ils ont imposé une contrainte supplémentaire  

0\leqslant x+1\leqslant \sqrt{x+2}

il est bien vrai qu'un nombre négatif est plus petit qu'un nombre positif

Tout nombre compris entre -2 et -1 vérifie l'inéquation

Posté par
heklare : Inéquation incertitude sur le résultat 08-02-22 à 22:25

lire inégalité stricte erreur de texte

Posté par
hbx360re : Inéquation incertitude sur le résultat 08-02-22 à 23:11

Mais comment tu sais qu'une contrainte supplémentaire ( i.e 0 < x+1 ) à été rajouté ?

La seule chose que j'ai dans mon livre c'est que pour justifier de l'élévation au carré on regarde si x +1 \geq 0, est-ce que c'est sa la contrainte supplémentaire ?

Posté par
larrechre : Inéquation incertitude sur le résultat 08-02-22 à 23:24

En l'abscence d' hekla

Oui, c'est ça, avant d'élever au carré, il faut s'assurer que x+10.

Posté par
heklare : Inéquation incertitude sur le résultat 08-02-22 à 23:29

Oui   je vous ai bien dit qu'un nombre négatif était toujours plus petit qu'un nombre positif donc si x+1 était négatif,
l'inégalité était vérifiée puisque \sqrt{x+2} était un nombre positif.  

On est bien obligé de s'arrêter à -2 pour que la racine carrée ait un sens.

Il était normal de distinguer les deux cas. Ils n'ont considéré qu'un cas celui où x+1 était positif  

Posté par
hbx360re : Inéquation incertitude sur le résultat 09-02-22 à 08:58

D'accord, et si il avait été choisis dans mon livre uniquement le cas ou x+1 est négatif donc

x+1\leqslant \sqrt{x+2}

on aurait donc pas eu besoin d'élever au carré et la solution aurait été :

S = \left[ -2; -1 ]

Et si les 2 cas avait été considéré x +1 \geq 0  et x+ 1 \leq 0 la solution aurait-elle été


S = \left[ -2; \frac{-1+\sqrt{5}}{2} [  

Est-ce que pour ce type d'exercice (avec inéquations et racines) pour trouver les solutions on est obligatoirement obligé d'élever au carré ?

Posté par
alb12re : Inéquation incertitude sur le résultat 09-02-22 à 09:20

salut,
Quelques theoremes utiles.

\\ \sqrt{a}=b\iff(a=b^2$ et $b\geqslant0) \\

\\ \sqrt{a}\leqslant b\iff(a\leqslant b^2$ et $a\geqslant0$ et $b\geqslant0) \\

\\ \sqrt{a}\geqslant b\iff(a\geqslant b^2$ et $b\geqslant0)$ ou ($a\geqslant0$ et $b<0) \\

Posté par
hbx360re : Inéquation incertitude sur le résultat 09-02-22 à 20:57

Merci pour vos réponses.


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