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Posté par
nat2108 17-05-21 à 17:11

Bonjour, mon prof m'a donné comme exercice à faire pour demain ceci :

Pour tout x , F(x) = \int_{0}^{x}{e^{t^2}}. Démontrer que pour tout k , l'équation F(x) = k admet une unique solution sur . Donner une valeur approchée de la solution de F(x) = 1, sans passer par la primitive de {e^{t^2}}.

Merci d'avance !

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 17:31

Bonjour,

Tu peux t'intéresser à la dérivée de F (dérivable sur \mathbb{R}, pourquoi ?)

Et donc aux variations de F
Il faudra s'occuper des limites en \pm\infty

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 17:40

On sait que pour tout x appartenant au réel, {e^{t^2}}>0.

De plus F'(x) = 2t{e^{t^2}} et cette fonction est strictement positive et en x = 0, F'(x) = 0, donc F(x) est strictement croissante sur [0;+infini[ donc sur [0;x].

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 17:45

Non :
comme elle est définie, F est la primitive de la fonction x\mapsto e^{x^2} qui s'annule en 0 .

Que vaut F'(x) ?

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 17:47

Non je me suis trompé c'est : f(x) = {e^{x^2}} donc f'(x) = 2t{e^{t^2}}

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 17:50

f'(x) = 2x{e^{x^2}}

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 17:53

Essaie de réfléchir posément à 17h45.
C'est à dire prendre un peu de temps ...

Tu écris :

  

Citation :
donc f'(x) = 2t{e^{t^2}}


  Je vois une fonction (dérivée ?) de x qui dépend d'une variable t  :

  Il y a un problème.

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 17:55

lake @ 17-05-2021 à 17:53

Essaie de réfléchir posément à 17h45.
C'est à dire prendre un peu de temps ...

Tu écris :

  
Citation :
donc f'(x) = 2t{e^{t^2}}


  Je vois une fonction (dérivée ?) de x qui dépend d'une variable t  :

  Il y a un problème.
nat2108 @ 17-05-2021 à 17:50

f'(x) = 2x{e^{x^2}}

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 17:56

Ah! Messages croisés. Mais ça ne va toujours pas :

Si F est une primitive de f (sur \mathbb{R} ici).

Que vaut F'(x) ?

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 18:00

F'(x) = f(x), mais je ne comprends pas, car quand je lis F(x) = intégrale d'une fonction, alors F(x) est une primitive de f(x), hors f(x) = {e^{x^2}} donc logiquement f'(x) = {2xe^{x^2}}

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 18:10

Citation :
F'(x) = f(x)


Très bien.

Maintenant, je répète :

Avec F(x)=\int_{0}^x e^{t^2}\,\text{d}t :

Ton cours t'indique que F est  une primitive particulière (qui s'annule en 0) de la fonction f:\,x\mapsto e^{x^2}

Et je répète encore : que vaut F'(x) ?

Prend le temps de réfléchir avant de répondre

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 18:16

F'(x) = {e^{x^2}} ?

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 18:18

Mais oui !
J'espère (et je pense) que tu as appris quelque chose

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 18:24

Oui mais donc, on peut écrire directement f(x) = {e^{x^2}} ? Après avoir dit que la fonction est positive sur [0;+infini[, on peut écrire que une primitive de F'(x) soit F(x) est une fonction strictement croissante sur ce même intervalle.
De plus lim(x-->+infini) de F'(x) donc de f(x) = + infini. Après on fait quoi ?

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 18:32

Ouh là ! Tu vas un peu vite :

On sait maintenant que F'(x)=e^{x^2} positif sur \mathbb{R}

Donc que F est strictement croissante (et continue) sur \mathbb{R}.
Pour appliquer le TVI, il faut s'occuper des limites de F en -\infty et +\infty.

Je dois faire une pause "casse croute".

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 18:36

Limite en -infini c'est 0.

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 19:41

Voilà une affirmation péremptoire. Comment la prouves-tu (elle est fausse! )

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 19:56

Ah non c'est -infini

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 19:57

Oui, mais il faut le prouver !

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 19:57

Non  c'est +infini !!

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 20:00

Une preuve dans un sens ou dans l'autre s'il te plait !

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 20:02

Quand x tend vers -infini alors e^(-infini)² = e^(infini) donc +infini

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 20:13

L'intégrande tend vers + \infty en -\infty. D'accord.

Mais là il s'agit de déterminer la limite de l'intégrale (qui n'a rien à voir).

Crois-moi : elle tend vers -\infty.

Tu devrais plutôt t'occuper de la limite en +\infty dans un premier temps.
Un conseil :
  on suppose x>0

sur [0,x], e^{t^2}\geq 1

Donc \int_0^xe^{t^2}\,\text{d}t\geq \int_0^x\text{d}x

C'est à dire F(x)\geq x

Par comparaison de limites, on peut en déduire \lim\limits_{x\to +\infty}F(x)

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 20:14

Zut, une erreur :

  Donc \int_0^xe^{t^2}\,\text{d}t\geq \int_0^x\text{d}t

Posté par
nat2108re : Intégrale 17-05-21 à 20:43

lake @ 17-05-2021 à 20:14

Zut, une erreur :

  Donc \int_0^xe^{t^2}\,\text{d}t\geq \int_0^x\text{d}t


Je ne comprends pas l'égalité, ça représente quoi \int_0^x\text{d}t ?

Posté par
lakere : Intégrale 17-05-21 à 20:46

Si tu préfères :

\int_0^x 1\,\text{d}t


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