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Intégrale (post-bac)

Posté par
retyry
13-03-13 à 14:20

     Bonjour,

J'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice de math :

Le nombre réel e désigne la base du logarithme népérien.
Pour tout nombre entier naturel n, on définit la fonction fn par la relation suivante, valable pour tout nombre réel x:
.pour n1, fn(x)= (e-nx)/(1+e-x)

.f0(x)= 1/(1+e-x)
On pose pour tout n de , un=01fn(x)dx.

1. Vérifier que pour tout nombre réel x:
1/(1+e-x)= ex/(1+ex)

2.a) Calculer la dérivée de la fonction qui, a tout nombre réel x, associe ln(1+ex), et en déduire la valeur de u0.

  b) Montrer que u0+u1=1, et en déduire la valeur de u1.

3. Montrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire qu'elle est convergente. On note l sa limite.

4.a) Montrer que pour tout n2,
u[/sub]+u[sub]n-1=[1/(n-1)]* (1-e-n+1)

  b) En déduire la valeur de l.


La question 1, j'essaye de faire plusieurs choses mais je ne trouve pas le résultat final.
La question 2a, j'ai réussi : sa dérivée est ex/(1+ex). D'après la relation de la question 1 u0= f0(x).
La question b je ne sais pas quoi faire.
La question 3 je pensais faire la récurrence mais je trouve que c'est compliqué dans ce cas la.
Pour la question 4 je ne comprends pas d'ou sort le 1/(n-1).

Merci par avance.

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 14:32

Bonjour,
1) produit en croix
ou mets e^(-x) en facteur  sachant que e^0=1

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 14:42

Si je fais le produit en croix je trouve  (1+ex)/(ex-e)

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 14:51

  tu ne devrais pas obtenir un quotient mais un produit
si a/b=c/d alors le produit en croix donne ad=bc

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 14:59

donc cela donne :
1+ex=ex * e ?

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 15:13

Non
1/(1+e-x)= ex/(1+ex)
1(1+ex)=...............
(1+e-x)(ex)=..........

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 15:28

1(1+ex)=ex+1
(1+e-x)(ex)=ex+1

Puisque les deux ont le même résultat alors ils sont égaux?

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 16:18

OK
2) tu apliques :
\int_a^bf(x)dx +\int_a^bg(x)dx=\int_a^b(f(x)+g(x))dx

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 16:54

Je trouve 2/(1+e-x)
Maintenant je cherche sa primitive mais le 2 me bloque.

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 17:31

tu as fais une erreur de calcul...

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 21:05

Ah oui  c'est bon j'ai trouvé que c'est égale à 1.

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 13-03-13 à 22:05

OK
3) sachant que 0≤x≤1 et que la fonction e^(x) est croissante sur R
compare e^{nx}  et  e^{(n+1)x
puis
\frac{1}{e^{nx}} et  \frac{1}{e^{(n+1)x}}
puis  u_n  et  u_{n+1}

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 11:18

e^{nx} est croissant car n2 et la fonction e^x est croissante. Donc e^{(n+1)x} est croissant.

Pour \frac{1}{e^{nx}} est décroissant car la fonction inverse \frac{1}{e^x} est décroissante, donc pour \frac{1}{e^{(n+1)x}} est aussi décroissante.

On peut en conclure que u_n  et  u_{n+1} sont décroissante.

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 15:30

u peu rapide et mal dit...
si x est positif  et n entier  non nul alors nx<(n+1)x
   la fonction exponentielle est croissante et pour tout x ex>0 donc
0<e^{nx}<e^{(n+1)x}
0<\frac{1}{e^{(n+1)x}}<\frac{1}{e^{nx}}
0<{e^{-(n+1)x}<{e^{nx}
or
 0< \frac{1}{1+e^{-x}}
d'où
0<\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}<\frac{1}{e^{-nx}}{1+e^{-x}}
0< \int_0^1\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}dx<\int_0^1\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx
0<U_{n+1}<U_n
pour la convergence voir cours..

Citation :
4.a) Montrer que pour tout n2,
u[/sub]+u[sub]n-1=[1/(n-1)]* (1-e-n+1)


pas très lisible...

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 16:00

Pour la 4a) c'est :

Montrer que pour tout n2,
u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n-1}\times(1-e^{-n+1}).

Pour la 3. sa convergence = limite?

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 17:08

pour la 3) la suite est décroissante et minorée , donc elle converge  et admet une limite
pour 4)
u_n+u_{n-1}  non ?
tu additionnes les deux intégrales et tu mets e^{-(n-1)x}  en facteur , tu simplifies et tu intègres

rappel  une primitive de e^{ax}=\frac{1}{a}e^{ax}

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 18:24

Bizarrement à la fin moi je trouve \frac{1}{n-1}\times({e^{-(n-1)}-1)

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 20:22

u_{n}+u_{n-1}=\int_0^1\frac{e^{-nx}+e^{-(n-1)x}}{1+e^{-x}}dx
=\int_0^1\frac{e^{-(n-1)x}(e^{-x}+1)}{1+e^{-x}}dx
=[-\frac{1}{-(n-1)}e^{-(n-1)x}]_0^1
=\frac{1}{n-1}\times (e^{1-n}-1)

tu en déduis la limite l de la suite

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 20:31

comment je fais pour en déduire l à partir de cela?

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 20:56

  u_n+u_{n-1}= somme de deux termes consécutifs de la suite (un)
. détermine le limite de cette somme  u_n+u_{n-1} quand n tend vers l'infini.
et conclus

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 14-03-13 à 20:57

u_n+u_{n-1}= somme de deux termes consécutifs de la suite (un)

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 15-03-13 à 19:35

u_n + u_{n+1}= - quand n+ et -

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 15-03-13 à 20:54

Non ,je te rappelle que la suite est minorée par 0 .
quelle est la limite de ex quand x tend vers - ?

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 15-03-13 à 22:57

C'est 0

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 16-03-13 à 14:04

oui  tu en déduis la limite  de
=\frac{1}{n-1}\times (e^{1-n}-1)
puis celle de la suite (un)

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 16-03-13 à 14:15

On en déduit que la limite de u_n  +  u_{n-1} est 0. Donc u_n est 0.

Posté par
Labo
re : Intégrale (post-bac) 16-03-13 à 14:33

OK

Posté par
retyry
re : Intégrale (post-bac) 16-03-13 à 14:34

Merci beaucoup pour ton aide.

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