Bonjour,
J'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice de math :
Le nombre réel e désigne la base du logarithme népérien.
Pour tout nombre entier naturel n, on définit la fonction fn par la relation suivante, valable pour tout nombre réel x:
.pour n1, fn(x)= (e-nx)/(1+e-x)
.f0(x)= 1/(1+e-x)
On pose pour tout n de , un=01fn(x)dx.
1. Vérifier que pour tout nombre réel x:
1/(1+e-x)= ex/(1+ex)
2.a) Calculer la dérivée de la fonction qui, a tout nombre réel x, associe ln(1+ex), et en déduire la valeur de u0.
b) Montrer que u0+u1=1, et en déduire la valeur de u1.
3. Montrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire qu'elle est convergente. On note l sa limite.
4.a) Montrer que pour tout n2,
u[/sub]+u[sub]n-1=[1/(n-1)]* (1-e-n+1)
b) En déduire la valeur de l.
La question 1, j'essaye de faire plusieurs choses mais je ne trouve pas le résultat final.
La question 2a, j'ai réussi : sa dérivée est ex/(1+ex). D'après la relation de la question 1 u0= f0(x).
La question b je ne sais pas quoi faire.
La question 3 je pensais faire la récurrence mais je trouve que c'est compliqué dans ce cas la.
Pour la question 4 je ne comprends pas d'ou sort le 1/(n-1).
Merci par avance.
tu ne devrais pas obtenir un quotient mais un produit
si a/b=c/d alors le produit en croix donne ad=bc
est croissant car n2 et la fonction est croissante. Donc est croissant.
Pour est décroissant car la fonction inverse est décroissante, donc pour est aussi décroissante.
On peut en conclure que sont décroissante.
u peu rapide et mal dit...
si x est positif et n entier non nul alors nx<(n+1)x
la fonction exponentielle est croissante et pour tout x ex>0 donc
or
d'où
pour la convergence voir cours..
pour la 3) la suite est décroissante et minorée , donc elle converge et admet une limite
pour 4)
non ?
tu additionnes les deux intégrales et tu mets en facteur , tu simplifies et tu intègres
rappel une primitive de
u_n+u_{n-1}= somme de deux termes consécutifs de la suite (un)
. détermine le limite de cette somme quand n tend vers l'infini.
et conclus
Non ,je te rappelle que la suite est minorée par 0 .
quelle est la limite de ex quand x tend vers - ?
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