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Intégrales

Posté par
ninie23 24-05-09 à 18:09

bonjour, pouvez vous m'aider à calculer cette intégrale

In= Integrale de 1 à e^2 de (lnx)^n/x^2 dx

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 18:12

Bonjour,

Par parties peut-être...

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 18:26

Oui mais après je sais pas trop comment faire

je sais que u(x)= (ln x)^n
            u'(x)= n(1/x)^(n-1)
            V'(x) = x^2
            v(x)= 1/3 x^3
mais je suis pas sur que mon choix sois judicieux

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 18:45

Bon, je n' avais pas vu le n

En posant u=\frac{1}{x} et v'=\frac{(\ln(x))^n}{x}

u'=-\frac{1}{x^2} et v=\frac{(\ln(x))^{n+1}}{n+1}

I_n=\left[\frac{1}{n+1}\frac{(\ln(x))^{n+1}}{x}\right]_1^{e^2}+\frac{1}{n+1}\Bigint_1^{e^2}\frac{(\ln(x))^{n+1}}{x^2}\,\text{d}x

I_n=\frac{1}{n+1}\frac{2^{n+1}}{e^2}+\frac{1}{n+1}I_{n+1}

soit I_n+1=(n+1)I_n-\frac{2^{n+1}}{e^2}

ou bien encore I_n=nI_{n-1}-\frac{2^n}{e^2}

Y' a plus qu' à conjecturer une expression de I_n en fonction de n et la démontrer par récurrence.

Il va y avoir des factorielles...

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:02

Merci beaucoup

est si je veux calculer I1 et I2 et I3  il vaut mieux que je parte de la prèmière intégrale ou de In+1 ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 19:12

I_1=1-\frac{3}{e^2} avec une IPP dans la première intégrale de ton énoncé.

Ensuite, I_2= 2I_1-\frac{2^2}{e^2}=2-\frac{10}{e^2}

I_3=3I_2-\frac{2^3}{e^2}=6-\frac{38}{e^{-2}} etc...

Mais je me demande quel est vraîment ton énoncé.

Faut-il conjecturer une expression de I_n en fonction de n ou bien ?

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:13

Non et merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 19:18

Bon ben de rien ninie23

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:22

Et pout I1 je prend :

u(x)= (1/x)
u'(x)=-1/x^2)
v'(x)= (lnx)

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:22

?????????

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 19:24

Le mieux est peut-être:

u(x)=\ln(x) et v'(x)=\frac{1}{x^2}

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:25

je vais essayer

Posté par
ninie23Intégrales 24-05-09 à 19:34

je bloque

je trouve I1= 2/e^2- Intégrale de 1 à e^2 (1/x)*(1/x^2)

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégrales 24-05-09 à 19:48

Je ne crois pas...

u(x)=\ln(x) v'(x)=\frac{1}{x^2}

u'(x)=\frac{1}{x} v(x)=-\frac{1}{x}

I_1=\left[-\frac{\ln(x)}{x}\right]_1^{e^2}+\Bigint_1^{e^2}\frac{1}{x^2}\,\text{d}x

I_1=-\frac{2}{e^2}+\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{e^2}

I_1=-\frac{2}{e^2}-\frac{1}{e^2}+1=1-\frac{3}{e^2}

Pour information, on a :

I_n=n!\left(1-\frac{\bigsum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{k!}}{e^2}\right)

que tu peux démontrer par récurrence...


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