Il faut intégrer par parties, mais il faut le faire deux fois:


S e^(3x) . cosx . dx
Poser e^(3x) = u -> 3.e^(3x).dx = du
et poser cosx .dx = dv  -> v = sinx

S e^(3x) . cosx . dx = e^(3x).sinx - 3. S e^(3x).sinx .dx   (1)

Pour S e^(3x).sinx .dx   :
Poser e^(3x) = u -> 3.e^(3x).dx = du
et poser sinx.dx = dv  -> v = -cosx

S e^(3x).sinx .dx   = - e^(3x) . cosx + 3 S e^(3x).cosx . dx

Remis dans (1) ->
S e^(3x) . cosx . dx = e^(3x).sinx - 3. [- e^(3x) . cosx + 3 S e^(3x).cosx
. dx ] + C

S e^(3x) . cosx . dx = e^(3x).sinx + 3. e^(3x) . cosx -9 S e^(3x).cosx
. dx ] + C

10.S e^(3x) . cosx . dx = e^(3x).sinx + 3. e^(3x).cosx + C
10.S e^(3x) . cosx . dx = e^(3x).(sinx + 3 cosx) + C

S e^(3x) . cosx . dx = (1/10).e^(3x).(sinx + 3 cosx) + C

la premiere c'est une bonne solution, mais il existe une autre
methode, et la voila:

soit les deux fonctions f(x) et g(x) ou:
f(x) = e^(3x) cos(x)
g(x) = e^(3x) sin(x)
les derivés premieres de f, et g sont:

f'(x)=3e^(3x) cos(x)-e^(3x) sin(x)        ....................derivé de f(x)
g'(x)=3e^(3x) sin(x)+e^(3x) cos(x)      ...................derivé de g(x)

si on multiplie la premiere egalité par 3 et on fait la somme des deux
resultas on obtient:

3 f'(x) + g'(x) = 10 e^(3x) cos(x)
ce ci implique:

e^(3x) cos(x)=(3/10) f'(x) +(1/10) g'(x)
donc

l'integrale [e^(3x) cos(x)] =l'integrale [(3/10) f'(x) +(1/10) g'(x)]

et comme l'integrale de f'(x) est f(x)..........[meme chose
pour g'(x)]
alors il est clair que;

l'integrale [e^(3x) cos(x)]=[(3/10) f(x) +(1/10) g(x)] + C

ou ; (C)est une constante

donc


l'integrale [e^(3x) cos(x)] = (1/10).e^(3x).(sinx + 3 cosx) + C