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Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:19

C' est même tout à fait indiqué...

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:29

Avec FT(t)=1-e-t²/2=p(Tt)

Je trouve donc les probabilités pour T1  = 0,6066 et T3  0,9888


Ce qui me semble bizarre que le circuit ai plus de chance de survivre plus de 3 ans que plus de 1an. Enfin ce n'est pas ce qu'on voit d'habitude mais pourquoi pas !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:31

J'ai oublier de prendre 1 - p(...

Bougre de moi !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:32

Pour résumé, probabilité de vivre plus d'un an : 0,6066, et de vivre plus de 3 ans : 0,0112 ! !Ce qui me semble plus correct avec du matos chinois

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:37

Oui mais pourquoi donnes-tu des valeurs approchées ?

e^{-^frac{1}{2}} et e^{-\frac{9}{2}}

Pour ta probabilité conditionnelle: e^{-4}

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:38

Aïe e^{-\frac{1}{2}} pour la première.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:38

Euh j'arrive pas a lire ta première exp ? Le prof' nous a dit de mettre des valeurs approchées a décimales pour ce chapitre en fait !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:40

A c'est bon. Oui c'est vrai, je vais les conserver jusqu'au calcul final !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:57

La variable sera dites "sans mémoire" si p((T>s+t)/(T>s))=p(T>t)

Je prends s=1 et t=2

p((T>s+t)/(T>s)) devient alors p((T>3)/(T>1)), ce que je viens de calculer qui vaut 0,0183 ou e-8/2

Je calcule alors p(T>t)

p(T>2)
1-p(T<2)= 1 - 1 + e-2²/2 = e-4/2

Donc ici p((T>s+t)/(T>s))p(T>t) : la loi est donc dites "avec mémoire". Ce qui semble logique vuqu'n circuit n'oublie pas l'usure quo'n lui a infligé !

Ce raisonnement est-il acceptable ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:06

Toutafé e^{-2}\not=e^{-4}

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:18

Je dois trouver telle que p(T)=p(T)=1/2.

Donc :

p(T)=1-p(T)

D'où 2p(T)-1=1/2

p(T)=3/4

1-e-²/2=3/4

e-²/2=1/4

=(-2ln(1/4))

...toujours ok ?

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:21

Ce qui fait 1,6651 années !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:26

Pas toutafé: j' ai \alpha=\sqrt{2\ln(2)}

Tu t' es mélangé les crayons dès le début.

Remarque que cela revient à résoudre P(T\geq \alpha)=\frac{1}{2}

soit e^{-\frac{\alpha^2}{2}}=\frac{1}{2}

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:31

A ben oui ! ou P(T)=1/2

soit FT()=1/2

1-e-²/2=1/2

e-²/2=1/2

soit =(-2ln(1/2))

J'ai donc un truc différent, d'où viendrais mon erreur ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:50

Mais non, c' est la même chose: \ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2)

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:55

Bougre de moi ! Et si on veut donner l'interprétation géométrique de ça sur la courbe de f(t) (la densité) qui ressemble a ça :

Qu'en dire ?

Intégration par parties.

Edit jamo : Image recadrée pour éliminer des zones inutiles et gagner de la place.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:59

Désolé pour la courbe, c'est du fait main ^^

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 16:59

La droite d' équation x=\sqrt{2\ln(2)} partage l' aire sous la courbe en 2 aires égales à \frac{1}{2} en unités d' aire.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:01

Ouhaou ! Merci !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:02

Mais de rien Titou59

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:03

Je vais prendre un abonnement "cailloux" !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:04

Oh!! il y en a d' autres et de meilleurs que moi! ...

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:05

Parce que la plus l'exercice avance, et plus je me dis que je suis perdu !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:08

Soit un ensemble E composé de 10 circuits identiques/indépendants. Au circuit i on associe la variable Xi avec Xi=1 si la durée de vie 1 an et sinon, donc si 1, Xi=0

La loi suivie est la même que précédemment avec T.

Je dois donner la loi du nombre N de circuits de E dont la durée de vie est 1 an.

En fait je ne comprends pas la sens profond de la question !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:16

Tu peux considérer que nombre de circuits (sur les 10) dont la durée de vie sera inférieure à 1 an est X et que cette variable aléatoire donne le nombre de succès d' une épreuve répétée 10 fois de manière indépendante où le succès a pour probabilité p=P(T\leq 1)

Ca ne te fait penser à rien ?

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:17

Ben c'est la probabilité d'avant non ?

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:19

Loi binomiale ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:20

Ah ben non, là, on a 10 circuits donc une répétition de 10 épreuves (succès ou échec) de manière indépendante...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:21

Voui! loi binomiale.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:21

Schéma de Bernoulli alors ?

Avec la durée de vie dedans je perds un peu les pieds !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:23

Donc X~B(10,p(T1) ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:27

Il suffit d' applique le cours:

0\leq k\leq 10:

P(N=k)=\left(10\\k\right)p^k(1-p)^{10-k} avec p=1-e^{-\frac{1}{2}} et donc 1-p=e^{-\frac{1}{2}}

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:28

D'accord, je suis complètement à coté de la plaque !

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:29

k est le nombre d'année du circuit ?

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:30

ou le numéro/nombre du circuit ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:30

En tout cas à 17h23 tu étais dans le vrai...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:31

k est le nombre de circuit dont la durée de vie ne dépasse pas un an.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:36

Oui d'accord j'étais bien dans le vrai alors ! J'aurais du le réécrire plus vite

Et si dès lors qu'un circuit est défaillant tout s'arrête, la probabilité que l'ensemble E s'arrête avant 1 an, signifie que je dois chercher la probabilité que k=0 ? Soit aucun défaillant ?

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:38

Enfin, 1-aucun défaillant !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:48

Dna l' hypothèse où le système s' arrête dès qu' un circuit est défaillant, l' évènement:

"le système s' arrête avant un an" est aussi l' évènement "N=1 ou 2... ou 10"

Sa probabilité est P(N=1)+P(N=2)+\cdots+P(N=10)

Ou bien 1-P(N=0)=1-e^{-5}

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:50

Impeccable j'étais sur la bonne voie ! Et donc si il est défaillant que si tout les circuits sont mort, c'est pour k=10 !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 17:52

Voui!

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 18:06

Ce qui fait 0,008% ! Soit quasi-impossible !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 18:09

Oui plutôt 0.009 % si tu arrondis

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 18:14

Oui en effet !

Presque à bout de cet exercice de malheur !

Toujours la même variable T, mais cette fois ci on définit Z=T².

FT(t) = (1-e-t²/2) si t0 et 0 sinon !

Ce qui me semble être la répartition de T.

Je dois alors donner la fonction de répartition de Z en fonction de T.

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 18:14

Il me suffit de monter cette fonction au carré pour avoir la répartition de Z, ou c'est trop simple pour que ce soit ça ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 18:59

P(Z<t)=P(T^2<t)=P(T<\sqrt{t})=F_T(\sqrt{t})=1-e^{\frac{t}{2}}

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 19:01

Pour t\geq 0 bien ^sûr sinon P(Z<t)=0

Posté par
Titou59
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 19:02

De ça je peux déduire la loi de Z ? ou il m'en manque ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Intégration par parties. 31-05-09 à 19:06

Mais avec ça tu as bien la fonction de répartition de Z:

\{F_Z(t)=1-e^{-\frac{t}{2}} \text{ si }t\geq 0\\F_Z(t)=0\text{ sinon }

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