Salut, c'est faux tout simplement, il suffit de prendre . Les deux ensembles sont alors les mêmes.

Ok.
En fait, je pensais que, pour , x non un point fixe de , était une partition de l'ensemble , privé des éléments qui sont des points fixe de . C'est donc faux!
Mais on peut quand même écrire ce dernier ensemble comme réunion des , si je ne me trompe pas!

Oui, l'ensemble des orbites crée une partition, c'est juste.

C'est quoi une orbite ?
C'est juste ou faux alors ?

L'orbite de x c'est l'ensemble des pour . Ici évidemment seuls k=0 et k=1 nous intéressent.

rq: et identité

Pour montrer que est une partition, il faut pourtant bien montrer que la propriété de mon premier post non ?

Non et sont distincts mais leur orbite est la même !

Salut,
ne peut-on pas écrire que comme ou bien
donc

car lorsque ie lorsque n'est pas point fixe de

Euh oui mais c'est écrire beaucoup pour pas grand chose

De plus si E est infini c'est vrai aussi.

Je n'y suis plus ... Pour montrer que l'ensemble des orbites crée une partition, il faut montrer quoi au juste ?

est une partition si :

. est non vide
. si
.

non ?

d'accord, et cela montre donc bien que

ou j'avais oublié de préciser désigne l'ensemble des points fixes de

sclormu : tu peux me donner, svp, la propriété générale, et de manière plus précise ?

Il suffit de montrer que la relation "être dans la même orbite" est une relation d'équivalence. Or ici dire que x et y sont dans la même orbite signifie que x=y ou bien , ce qui est équivalent (en appliquant ) à . Donc le résultat est trivial. Attention les orbites ne sont pas toutes de cardinal 2, il y a aussi les points fixes.

Plus généralement soit f de E dans E, pas nécessairement fini, telle que tout point x de E soit périodique i.e. pour tout il existe k>0 tel que . Montrez que la relation "être dans la même orbite" est une relation d'équivalence.

Plus précisément la relation c'est xRy si pour un .

J'ai pas tout compris.
Peut-on oublier les orbites et les classes d'équivalence, et montrer que l'ensemble est une partition avec la définition ?

Bonjour,
Ben il te suffit de verifier que {x,\sigma(x)}={y,\sigma(y)} ssi x=y ou x=\sigma(y)

J'en suis toujours au même point.

est une partition si :

. est non vide
. si
.

Mais le second point est en défaut, car et pourtant .

Je ne vois alors pas pourquoi c'est bien une partition ! Sans parler de classe d'équivalence, juste avec la définition de partition.

Rodrigo, pourquoi il suffit juste de faire ça ? En quoi cela permet-il de conclure que c'est une partition ?

BEn refelchis 2 minutes a ce qu'est une partition...
L'"ennui" c'est qu'on ne peut pas prendre tous les {x,\sigma(x)} parce que y a des {x,\sigma(x)} qui sont egaux a des {y,\sigma(y)} meme pour x différent de y.

Ici la notion d'orbites est particulierement bien adaptée au problème...

Qu'est ce que tu veux montrer en fait exactement?

Par contre, oui, c'est faux que est une partition le probleme vient du x dans E...on ne doit pas prendre tous les x dans E.

Je note E un ensemble fini et non vide, puis je note F l'ensemble des points fixes de (qui est une involution sur E).
Je cherche à savoir si peut s'écrire comme la réunion disjointe des lorsque parcourt : autrement dit, est-ce que est une partition de

Ca c'est juste faux...

Oui, j'avais capté!

Donc c'est plutôt ça :
montrer que est une partition de .

Bon, alors dis moi, car j'y suis plus ...
Qu'est-ce qui est une partition de quoi ?

Ben c'est complique d'ecrir le truc a la main... Y a pas vraiment de joli manière de l'écrire la seule façon que tu as de le dire c'est que il existe G un sous ensemble de E tel que {x,\sigma(x)}_{x\in G} forme une partition de E.

Mais même si on ne sait pas écrire explicitement G, on peut le justifier non ?

Sans parler de classe d'équivalence !

Ben oui on peut le justifier... en disant que {x,\sigma(x)} et {y,\sigma(y)} sont d'intersection vide ou égaux (le mieux serait de faire une reccurence sur le nombre d'element, cela dit c'est quand meme evident)...mais pourquoi tu veux pas parler de classes d'équivalence...c'est tellement naturel ici.

Regarde prends par exemple l'ensemble {1,2,3,4,5} et prends l'involution qui envoie 1 sur 2 et 4 sur 3 et qui fixe 5... ben la partition c'est ({1,2},{3,4},{5})... ya aps vraiment de joli manière de l'écrire...

J'y avais pensé à la récurrence, mais je ne m'en suis pas sortit.
Je suppose que . Donc après j'ai dit que nécessairement, le cardinal de était fini. J'ai dit que c'était p.

J'ai écris que . Et je fait une récurrence sur p.

Est-ce bien ?

Oui, mais si on enlève tous les points fixes, normalement il n'y a que des paires !

_{(oui et des paires distinctes...donc disjointes...)}

Oui y a que des paires mais la propriété que tu as ecrite est fausse Il n'y a pas p paire. Dans mon exemple si tu enleve 5 il te reste 4 elements...mais il n'y a pas 4 paires...il n'y en a que 2...

Qu'est ce que tu veux montrer a la fin des fins?

Eh bien que le cardinal de est un multiple de 2 !

Oui, je m'aperçois qu'il faut faire la réunion de i allant de 1 jusqu'à si je me trompe pas !

Dans ce cas ecrire qu'il existe un sous ensemble G tel que {x,\sigma(x)}_{x\in G} est une partition de E-F, et que chaque ensemble de {x\sigma(x)} pour x dans G est de cardinale 2, ca suffit non? Tu n'a pas besoin d'expliciter G.

Je suis d'accord. Mais j'ai besoin de dire pourquoi un tel sous-ensemble G existe.

Si tu veux absolument le rédiger, fait une récurrence.

Tu peux montrer qqch de plus agreable a rediger peut etre c'est que si une involution n'a pas de point de fixe, alors le cardinal de l'ensemble sur lequel elle agit est necessairement pair.
Pour un ensemble a 1 element il n'y a pas d'involution sans point fixe.
SUppose avoir prouver que sur un ensemble a 2n+1 elements il n'y a pas d'involution sans point fixe. ET montre le pour un ensemble a 2n+3 elements.

Ok, mais j'ai du mal.

Je considère . Je remarque d'abord que , ie .

Ainsi, si , alors et donc s'il contient un élément, il contient l'image de cet élément par sigma.

Mais je ne vois pas comment écrire la récurrence !

Pour l'instant oublions le F et prenons un involution sans point fixe sur E... on veut montrer que le cardinal de E ne peut etre impair.
Si ce cardinal est 1, ben alors l'involution n'a pas de point fixe...ca ne peut donc pas etre 1.

Supposons avoir prouver que la cardinal de E ne peut pas etre 2n+1. Alors si le cardinal de E est 2n+3, comme sigma n'a pas de point fixe, il existe x tel que sigma(x) différent de x. On note G={x,\sigma(x)}. Alors G et E-G, sont disjoint, et E-G est stable par sigma, donc sigma définit une involution sans point fixe de E-G qui a 2n+1 elements...mais on a supposé par recurrence qu'une telle chose n'existait pas.

Donc on a prouvé un lemme intermédiaire: Sur un ensemble de card impair il n'y a aps d'involution sans point fixe.

Maintenant prends ton E de depart et tu lui enlève F, l'ensemble de tous les points fixes, alors sigma est une involution de E-F sans point fixes (puisqu'on les a tous enlevés) donc card E-F ne peut etre impair par le lemme...il est donc pair.

Heu j'ai fait une petite erreur au debut j'ai ecrit
Si ce cardinal est 1, ben alors l'involution n'a pas de point fixe...ca ne peut donc pas etre 1.

Je voulais ecrire
Si ce cardinal est 1, ben alors l'involution a un de point fixe...ca ne peut donc pas etre 1.

Soit E un ensemble non vide et fini. Si E est de cardinal impair, alors toute involution sur E a un point fixe ?

Oui c'est ce que je viens de prouver...

De même que si le cardinal de E n'est pas divisible par 3, tu ne pourras pas regrouper les points par groupes de trois... Dites donc je suis parti 2h mais on n'a pas beaucoup avancé ! Tu es OK maintenant ou pas, H_aldnoer ?

Je comprend mieux le raisonnement. Cependant, dans ta récurrence, j'essaye de le faire des petites valeurs et je ne saisi pas.

On se donne E non vide de cardinal fini.
On veut montrer que a un point fixe.

Si n=0, alors , comme est une involution (donc une bijection) de E dans E on a ie a un point fixe.

Si n=1, alors et la je ne vois pas le raisonnement!

Mais je t'ai deja fait la démonstration!
Bon on peut reprendre avec ta méthode qui va marcher tout aussi bien.

Si E={X1,X2,X3}, alors soir s(X1)=X1 (j'appelle s au lieu de sigma c'est plus court) et c'est fini. Soit s(X1) n'est pas egal à X1, supposons que ce soit s(X1)=X2 (quitte a renumeroter). Alors on a {X1,s(X1)=X2} qui est stable par s, et donc s stabilise aussi {X3} (vois tu pourquoi?), donc s définit ue ivolution de {X3} qui est un ensemble a 1 elements et on a deja prouvé qu'elle avait un point fixe sur un ensemble a 1 element (remplace 3 par 2n+3 et 1 par 2n+1 et tu as exactement ta recurence)

La récurrence n'est vraiment pas la bonne manière d'aborder cet exercice, même si on peut le faire. Il vaudrait vraiment mieux que tu essaies de prouver que les orbites forment une partition de E. Ensuite, s'il n'y a pas de point fixe alors toutes les orbites sont de cardinal 2 donc le cardinal de E est pair.