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La droite d'Euler
Salut ! J'ai un DM sur les vecteurs, et un exercice assez difficile porte sur les vecteurs. je vous copie l'énoncé ci desous:
La droite d'Euler
Soit ABC un triangle non aplati, A', B', C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC]et AB] et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit H le point défini par :
-> -> -> ->
OH = OA + OB + OC (nb -> ce sont des vecteurs)
1/ Déterminer le point H
a) montrer successivement que :
-> -> -> -> -> ->
AH = 2OA' BH = 2OB' et CH = 2OC'
b) placer le point H sur une figure.
c) montrer successivement que :
(AH) | (BC), (BH) | (AC), (CH) | (AB)
(nb | = perpendiculaire à)
d) que peut-on en déduire pour le point H ?
2/ Soit G le point défini par :
-> -> -> ->
GA + GB + GC = O
a) Montrer successivement que :
-> -> -> -> -> ->
AG = 2/3 AA' BG = 2/3 BB' et CG = 2/3 CC'
b) placer le point G sur la figure
c) Montrer que, pour tout point M du plan :
-> -> -> ->
MA + MB + MC = 3 MG
-> ->
d) en déduire que OH = 3 OG
e) que peut-on déduire de la question précédente ?
(j'ai copié l'énoncé depuis un autre forum mais il n'y avait pas d'aide)
Donc j'ai commencé pour la question 1)a) et je trouve ceci, ca vous semble juste (j'écris tout en vecteur, et si qqun peut me donner la technique pour insérer les flèches, ca serait sympa 
)
AH=20A'
AH+OH=20A' (relation de CHASLES)
AO+OA+OB+OC=20A' (conformement à ce qui a été indiqué dans l'énoncé)
OB+OC=20A'
OA'+A'B + OA'+A'C=20A'
A'B+A'C=0 (vecteur nul)
Or on sait que A' est le milieu du côté BC
Donc A'B+A'C s'annule, et on a
vecteur nul = vecteur nul
En developpant, on obtient une expression qui est une égalité, donc on a bien AH=20A'
Pour BH = 2OB' et CH = 2OC', j'utilise toujours le même résonnement et j'obtiens aussi une égalité de vecteurs nuls
Ma technique est un peu tordue mais j'ai quand même cherché, donc si qqun trouve mieux je suis preneur lol !
Merci, Pierrick67
bonjour,
1)
De OH=OA+OB+OC et OB+OC=2OA'
tu tires OH-OA=OB+OC soit AH=2OA'
idem pour les 2 autres
conséquence de la relation AH=2OA'
(AH)//(OA')
mais (OA') est perpendiculaire à (BC) car médiatrice issue de A
donc (AH) est la hauteur issue de A dans ABC
idem pour les autres
donc H est le point de concours des hauteurs.
2)
introduire A' dans la relation et ça va tt seul.
de même pour B' et C'.
introduire M dans la relation et ça va encore tt seul.
avec M=O on trouve:
OA+OB+OC=3OG=OH
fini.
MErci pour le reste, j'avais trouvé. Par contre une fois que tu es à 0B+0C = OH-OA je vois pas du tout où cela mène ?!
Excuse, si on trouve bien OB+OC = OB+OC mais ca revient un peut au même de mon vecteur nul = vecteur nul ?
MERCI ! C'est un plus clair comme ca, je vais pouvoir me débrouiller maintenant 
Juste comme ca, si j'avais écris mon premier résonnement j'aurais eu 0 ?
Voilà ce que j'ai mis philippe, mais un point est un peu vague, es-ce que je peux m'appuyer du fait qu'on admet que AH=20A' pour le calcul ? Enfin bref regardez en bas !
On part de AH=2OA'
• Développons AH
AH=AO+OH
AH=AO+OA+OB+OC
AH=AA+OB+OC
AH=OB+OC
• Or on sait que
OH=OA+OB+OC
OH-OA=OB+OC
• Donc on a
AH=OH-OA
OH-OA=AH
OH-OA=2OA'
AO+OH=2OA'
AH=2OA'
Salut!
moi j'ai ce même devoir à faire . Je suis bien partie mais apres pour le 2. je bloque , je ne vois pas en quoi cela me mène d'introduire les points A' , B' et c' de même pour M , dans la relation.
Bon , je pense que j'ai reussi a faire le 2. mais pas en entier je ne comprends toujours pas comment placer M.
Donc ,
D'apres la definition vectorielle du centre de gravité : G centre de gravité equivaut à GA+GB+GC=O
on a :
GA+GB+GC
= 2/3(AA'+BB'+cc')
= 2/3(BA'+BA+B'C+C'B+C'A+AC)
= 2/3(A'B+B'C+C'A)
= 1/3 x 1/2 (BC+AC+BA)
= O
DONC OH = 3OG
d'apres l'égalité : OH=OA+OB+OC
on a : OG+GA+OG+GB+OG+GC
= 3OG+GA+GB+GC
on peut dire d'apres ce qu'on a démontré que OH+OG sont colinéaires et donc O,G,H sont alignés
(j'espere que c'est ça =D )
saluu!!jsui nouveau dans ce forum je vien de trouver ladresse et jespere trouver de l'aide ici,car le prof nous a donné un DM hyper duuur et je nsais pas par où commencer car on a mêm pa fé la leçon, aidez moi plzzz:
ABC est un triangle, O est le cantre de son cercla circonscrit et G son centre de gravité.A',B',C' désignent les milieux respectifs des segments BC,CA et AB.
On note H le point défini par OH=OA+OB+OC (ce sont des vecteurs)
L'objectif est de démontrer que est l'orthocentre du triangle ABC.1
1.a)Prouver à partir de OH=OA+OB+OC,que AH=2OA'
b)Démontrer alors que les droites (AH)et(BC)sont perpendiculaires.
2.Démonter que la droite(BH)est perpendiculaire à la droite(AC).
3.Conclure.
4.Prouver que OH=3OG
5.a)Examinons la question de savoir si O,G,H peuvent être confondus. En utilisant:OH=3OG, prouvez que si deux d'entre ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduisez-en que ABC est équilatéral.
b)Réciproquement,si ABC est équilatéral,vérifiez que O,G,H sont confondus.
c)Que dire des points distincts O,G,H lorsque ABC n'est pas équilatéral?
Le but des prochaines questions est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux milieux des côtés de ABC sont sur le cercle circonscrit.
6.Pour cela,on note A1(le 1 est en indice pour le A) le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit et I le milieu du segment HA1.
a)Justifiez les égalités 2OI=AH=2OA'
b)Déduisez-en que I=A' et que A1 est le symétrique de H par rapport à A'.
7.Indiquez,en les justifiant, les symétriques de H par rapports à B' et C'.Concluez.
Le but de ces questions est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux cotés de ABC sont sur le cercle circonscrit.
8.Pour cela, notons K l'autre point d'intersection de (AH) avec le cercle circonscrit.Démontrer que K est le symétrique de H par rapport à (BC).
9.Indiquez la démarche à suivre pour les symétriques de H par rapport aux deux autres côtés.Conclure.
Jsé très b1 que le DM est trooo long mé ca sera troo sympa de votre part si vous acceptiez de m'aidez pliizzzz.Et merci d'avance.
j'ai le même exercice. J'ai cherché dans tous le site mais il n'y a jamais la fin de l'exercice.
Alors j'espère qu quelqu'un va pouvoir nous aider.
j ai a peu pres le meme exercice mais je n arrive pas a demontrer que OB+OC=2OA'
comment faire??
merci d avance jeremy42
pour Jeremy42
A' étant le milieu de [BC]
par la méthode du paralléogramme, il est évident que
(vecteurs)
OB+OC=2OA' (A' est l'intesection des diagonales du parallélogramme que l'on construit pour avoir la somme OB+OC et les diagonales se coupent en leurs milieux. A noter que dans le cas présent, le parallélogramme est un losange puisque [OB]=[OC])
j'essaie de répondre à l'énoncé suivant
Posté par tifou16 (invité)
saluu!!jsui nouveau dans ce forum je vien de trouver ladresse et jespere trouver de l'aide ici,car le prof nous a donné un DM hyper duuur et je nsais pas par où commencer car on a mêm pa fé la leçon, aidez moi plzzz:
ABC est un triangle, O est le cantre de son cercla circonscrit et G son centre de gravité.A',B',C' désignent les milieux respectifs des segments BC,CA et AB.
On note H le point défini par OH=OA+OB+OC (ce sont des vecteurs)
L'objectif est de démontrer que est l'orthocentre du triangle ABC.1
1.a)Prouver à partir de OH=OA+OB+OC,que AH=2OA'
b)Démontrer alors que les droites (AH)et(BC)sont perpendiculaires.
2.Démonter que la droite(BH)est perpendiculaire à la droite(AC).
3.Conclure.
en vecteurs
OB+OC=2OA' (voir explications que je viens de donner à jeremy42)
donc OH=OA+2OA'
OH-OA=2OA'
AO+OH=2OA'
AH=2OA'
donc (AH) est parallèle à (OA') et comme (OA') c'est la médiatrice de [BC], (AH) est perpendiculaire à (BC) et c'est donc la hauteur du triangle ABC issue de A
on fait la même chose en écrivant que
AH=2OB'+OB et la suite identique à ci dessus
H est donc l'orthocentre du triangle
4.Prouver que OH=3OG
OH=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC
or on sait (propriété vectorielle du centre de gavité que
GA+GB+GC=0
donc
OH=3OG
5.a)Examinons la question de savoir si O,G,H peuvent être confondus. En utilisant:OH=3OG, prouvez que si deux d'entre ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduisez-en que ABC est équilatéral.
b)Réciproquement,si ABC est équilatéral,vérifiez que O,G,H sont confondus
il me semble que la démonstration ainsi que sa réciproque sont aisés à démontrer et que vous n'avez pas besoin de mon aide.
c)Que dire des points distincts O,G,H lorsque ABC n'est pas équilatéral?
Le but des prochaines questions est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux milieux des côtés de ABC sont sur le cercle circonscrit.
6.Pour cela,on note A1(le 1 est en indice pour le A) le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit et I le milieu du segment HA1.
a)Justifiez les égalités 2OI=AH=2OA'
on a démontré plus haut que
2OA'=OH
et si I est le milieu de OA1 dans le triangle AHA1 on a O milieu de [AA1] et I milieu de [HA1]
donc on sait que [AH]=2[OI] et que les droites (AH) et (OI) sont // (droite des milieux dans un triangle)
par conséquent , vectoriellement on aura bien
AH=2OI
et I et A' sont bien confondus
b)Déduisez-en que I=A' et que A1 est le symétrique de H par rapport à A'.
7.Indiquez,en les justifiant, les symétriques de H par rapports à B' et C'.Concluez.
Le but de ces questions est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux cotés de ABC sont sur le cercle circonscrit.
8.Pour cela, notons K l'autre point d'intersection de (AH) avec le cercle circonscrit.Démontrer que K est le symétrique de H par rapport à (BC).
(KA1) est perpendiculaire à (AK) (AA1 diamètre du cercle)
et en appliquant la réciproque du théorême de la droite des milieux on en déduit que B est le milieu de [HK]
9.Indiquez la démarche à suivre pour les symétriques de H par rapport aux deux autres côtés.Conclure.
on prendra B1 et on fait pareil qu'avec A1
Jsé très b1 que le DM est trooo long mé ca sera troo sympa de votre part si vous acceptiez de m'aidez pliizzzz.Et merci d'avance.
J'ai moi aussi un DM ressemblant. J'ai tout réussi sauf la question 2.(AH=2OB'+OB et la suite identique à ci dessus)
Pourrais-je avoir plus d'explications ?
Merci d'avance.
Bonjour, dans le "bazar" ci dessus, j'ai quelque mal à retrouver ce qu'est la question 2) qui te crée souci.
D'autant plus que la relation vectorielle telle que tu l'écris comporte certainement une erreur de frappe.
en effet si on part (vectoriellement) de
OA+OB+OC=OH
on sait (méthode du parallélogramme) que OA+OC=2OB'
donc OB+2OB'=OH
2OB'=OH-OB=OH+BO=BH
et comme (OB') est la médiatrice de [AC], est donc perpendiculaire à (AC) et par la relation vectorielle BH=2OB',
ces 2 vecteurs sont donc colinéaires et (BH) est donc hauteur du triangle
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