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les sommes
Bonjour
Voici un exercice sur les sommes qui ne m'arrange pas non plus :
1.Sommation par le bas
Soit n un entier positif .Rappeler la valeur de la somme
(somme)(0-->n)(k parmi n)
ceci vaut (1+1)^n =2^n
2.Sommation par le haut .
Soit m et n deux entiers naturels tels que n>ou=m.On cherche à calculer somme(k=m à n)(m parmi k)
a.Montrer que pour tout entier k tel que k>ou=m+1 on a :
(k parmi m) = (m+1 parmi K+1)-(m+1 parmi k)
(m parmi k) = k!/(m!(k-m)!)
(m+1 parmi k+1)-(m+1 parmi k) =
(k+1)!/[(m+1)!(n-m-1)!]-(k!/(m+1)!(n-m-1)!)
et la je ne vois pas le lien ...
b)En déduire la somme(k=m+1 à n)(m parmi k) = (m+1 parmi n+1)-1
...et si on changeait d'indice ?
c) Montrer finalement la formule :
somme(k=m à n)(m parmik)=(m+1 parmi n+1)
On fait un décalage : du coup le -1 s'en va d'après la formule du b)
3.Sommation parallèle .
Soit r et n deux entiers naturels .
a)Justifier que pour tout entier k ,on a (k parmi r+k)=(r parmi r+k)
euh ...puis-je avoir un point de départ ?
b) En déduire la formule :
somme(k=0 à n)(k parmi r+k)=(n parmi n+r+1)
???Admettons que j'ai trouvé la q.a
on a posé k = n+1 ...non ça ne marche pas
Indication de l'exercice : se ramener par un changement d'indice à une sommation par le haut .
4.Application : une somme de quotients .
Soient m et n deux entiers naturels vérifiants n>ouégalm
L'objectif de cette question est de calculer la somme
(somme)(0 à m)[(k parmi m)/(k parmi n)]
a.Montrer que pour tout entiers a,b,et c tq c<ou=b<ou=a on a l'égalité :
(b parmi a)(c parmi b) =(c parmi a)(b-c parmi a-c)
j'ai peur là ,parce que que à part en utilisant les factoriels je ne vois pas ,mais avec les facto je n'y arrive pas ! 
b) montrer que somme(k=0 à m) (m-k parmo n-k)=(m parmi n+1)
Incation /par un changement de variable on se ramène à une sommation parallèle .
ok mais lequel ?
c)Déduire des deux questions ^récédentes l'égalité :
(somme)(0 à m)[(k parmi m)/(k parmi n)]=n+1/(n+1-m)
Bon une fois les questions trouvées , je pense y parvenir ...
Merci à tous de votre disponibilité et gentillesse , je vous en prie répondez , j'ai passsé avec mes camarades 50 ans dessus et résultats : zéro... Enfin bref , bonne soirée .
bonsoir
(m+1 parmi k+1)-(m+1 parmi k) = (k+1)!/[(m+1)!(n-m-1)!]-(k!/(m+1)!(n-m-1)!)
et la je ne vois pas le lien ...
non, je ne crois pas !
(m+1 parmi k+1)-(m+1 parmi k) = (k+1)!/[(m+1)!(k-m)!]-(k!/(m+1)!(k-m-1)!)
(que viendrait faire un "n" ici ?)
réduis au même dénominateur et regroupe
bonsoir
Merci de bien répondre .
Pardon je me suis trompé ,pas de n !
(k+1)!=(k+1)k!
(k-m-1)!=(k-m)!/(k-m)
donc finalement on a
Donc, on peut mettre k!/[(m+1)!(k-m)!] en facteur et il reste k+1-(k-m)=1+m ou m+1
Donc la différence vaut k!/[(m+1)!(k-m)!]*(m+1)
Or (m+1)/(m+1)!=1/m!, il reste donc k!/[m!(k-m)!] qui est bien (m parmi k) = k!/(m!(k-m)!)
non ?
pour le 2-b) c'est tout bête... tu utilises la question précédente et les termes se simplifient deux par deux... ne restent que le premier et le dernier
et 2-c) tu ajoute 1 à la formule précédente et tu remarques que 1=(m parmi m) = (k parmi m) pour k=m
ok alors :
somme(k=m+1 à n)(m parmi k) =
somme(m+1 à n)[(m+1 parmi k+1)-(m+1 parmi k)]
on sépare les sommes ?
k'= k+1
si k = m+1 alors k'=m+2
k=n alors k'=n+1
somme(m+2 à n+1)[(m+1 parmi k')-(m+1 parmi k-1)]
on développe et simplifie ?
mais non ! sépare les somme et ne fais le changement que dans la première....
reprends à ton post de 21:22
[(k!/(m+1)!(k'-m-1)!-(k-1)!/(m+1)!(k-m)!]Comment faites-vous pour écrire comme cela ?
bref ,ok ,le premier terme c'est m+1 parmi n+1 et l'autre c'est -1
(c'est un m+1 en bas dans la dernière somme... pas un k+1 !)
on somme les mêmes termes... il n'y a que les bornes qui cangent !
pffff les sommes sont à revoir !!!
C'est en fait untruc que je ne comprends pas , comment faites vous pour obtenir ce (m+1 parmi n+1) et tout ?
dans la première somme de 21:59, j'isole le terme obtenu pour k=n+1
et dans la deuxième le terme où k=m+1
afin que les deux sommes aient les mêmes bornes
bon d'accord.
Pour la 2.c vous avez dit d'ajouter 1 à la formule précédente ,ça fait somme(k=m+1 à n)(m parmi k)+1=(m+1 parmi n+1)
ça fait somme(k=m+1 à n) (m parmi m)+(m parmi k) mais de quoi à quoi ?
:?certainement .
Je vous le dit franchement j'ai un sérieux souci avec les sommes , une fois de plus pourquoi a-t-on k= m?
si tu as un problème avec les sommes, une seule solution : écris les en "étendu" en écrivant les deux ou trois premiers termes... de petits points... et les deux ou trois derniers.
C'est long mais c'est la seule façon de comprendre.
je ne peux rien te dire de plus
no problem ,c'est déjà beaucoup !! 
Qu'en pensez-vous pour la 3.a ?poste 21.25
3.b j'ai une idée ...SOMME(k=r à n) de k!/r!/(k-r)! = (n+1)!/(r+1)!/(n-r)! résultat du 2)b en remplaçant m par r
On fait le changement de variable k'=k-r dans la somme, donc k' varie de 0 à n-r
SOMME(k'=0 à n-r) de (k'+r)!/r!/k'! = (n+1)!/(r+1)!/(n-r)! le second membre ne change pas.
Ensuite, on fait le changement de variable n'=n-r soit n=n'+r. Là, ça change le second membre.
SOMME(k'=0 à n') de (k'+r)!/r!/k'! = (n'+r+1)!/(r+1)!/(n')!
et il n'y a plus qu'à supprimer les ' pour trouver
SOMME(k=0 à n)(k parmi r+k)=(n parmi n+r+1)
...je peux le faire ?
ok
(k parmi r+k)=(r+k)!/(k!(r+k-k)!)=(r+k)!/k!r!
(r parmi r+k) = (r+k)!/(r!(r+k-r)!)=(r+k)!/k!r!
c'est bon
je ne comprends rien à ce que tu proposes à 22:38
utilises les combinaisons et les résultats déjà démontrés !
Naaaannnnn !
tu sais en maths les questions ont souvent un rapport !
tu as montré quoi à la question précédente ?
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