Niveau Licence Maths 1e ann

lien entre intersection et plus petit au sens de l'inclusion

Posté par
jbsph 27-09-23 à 15:48

Bonjour, j'ai du mal à saisir, (formellement) pourquoi une intersection d'ensembles ayant une caractéristique est le plus petit ensemble (au sens de l'inclusion) ayant cette caractéristique. Je comprends dans l'idée, mais je n'arrive pas à formuler l'équivalence qu'il y a entre ces deux assertions.
La question se pose notamment en topologie pour l'adhérence d'un ensemble qui est le plus petit fermé contenant l'ensemble et qui est aussi l'intersection de tous les fermés contenant l'ensemble. C'est idem pour les tribus engendrées en théorie de la mesure ou pour les sous-groupe engendrés en algèbre.
Quelqu'un connaît la preuve?

Posté par re : lien entre intersection et plus petit au sens de l'inclusio 27-09-23 à 16:08

salut

par définition une intersection de deux ensembles est incluse dans ces deux ensembles : elle est donc bien "plus petite" que chacun de ces deux ensembles ...

Posté par re : lien entre intersection et plus petit au sens de l'inclusio 27-09-23 à 16:35

Ah oui effectivement ...
Et réciproquement, pourquoi le plus petit est l'intersection de tous les autres ?

Posté par re : lien entre intersection et plus petit au sens de l'inclusio 27-09-23 à 16:42

Bonjour,

Ça ne marche que pour les propriétés (ce que tu appelles "caractéristiques") de parties qui sont stables par intersection quelconque.
Exemple : être un sous-espace vectoriel, être un sous-groupe, être un fermé.

Si une propriété P est stable par intersection quelconque, alors l'intersection de toutes les parties ayant la propriété P et contenant une partie A donnée
- contient la partie A
- a la propriété P
- est contenue dans toutes les parties ayant la propriété P et contenant A.
C'est donc bien la plus petite partie ayant la propriété P et contenant A.

Par contre ça ne marche pas pour la propriété "être ouvert" dans un espace topologique. Une intersection quelconque d'ouverts n'est pas ouverte en général (même si une intersection finie l'est), et il n'y a pas en général de plus petit ouvert contenant une partie donnée.

Posté par re : lien entre intersection et plus petit au sens de l'inclusio 28-09-23 à 10:24

Ok, je comprends maintenant, on n'a pas à se soucier de savoir si la propriété est vérifiée après l'intersection car elle l'est par hypothèse. En fait je faisais l'amalgame entre vérifier la propriété et contenir une partie. L'intersection et être plus petit ou non ne repose que sur des considérations ensemblistes (évidemment...).
Merci beaucoup !