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Limite Sup Et Limite Inf D'Une Suite De Parties
Posté par MaleMan
Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre la notion de limite sup et limite inf d'une suite de parties d'un ensemble. Voici la définition:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Borel-Cantelli
Je parle de la définition à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles.
Ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est comment un élément peut appartenir à une infinité de Ak connaissant cette définition.
C'est l'intersection d'une réunion. Or, pour chaque n, la réunion devient de plus en plus petit, donc l'intersection à l'étape n de la réunion 
k
n Ak avec celle kn-1 sera simplement la réunion des Ak pour kn.
Plus n avance, l'intersection sera simplement kn Ak.
Donc comment un élément pourrait appartenir à une infinité de Ak?
Salut,
En fait, il faut voir limsup A_n comme un ensemble, une partie de l'ensemble des événements.
Si , alors cela signifie que ça appartient à l'intersection des réunions.
Donc ça appartient à chacune des réunions (définition de l'intersection)
Pour ce point-là, ça signifie que ,
Mais pour qu'un élément appartienne à une réunion, il suffit qu'il appartienne à un seul élément de cette réunion.
Donc ceci revient à dire
Ce qui, en termes probabilistiques, se traduit par "l'événement se produit"
Tu peux voir que cette définition avec les quantificateurs entraîne qu'une infinité de se produit.
À la condition bien sûr que se produise (et c'est là que les lemmes de Borel-Cantelli interviennent)