Niveau IUT/DUT

Linearisation Euler moivre de cos 3x

Posté par
mikael83 12-12-09 à 12:46

Bonjour  j'essaye de linerasier des fonction a la puissance n

comme par exemple cos^3 x
donc je me retrouve avec

cos^3x   =      (e jx)  +   (e -jx)  / 2

          =    (e jx)^3  +   (e-jx)^3 /2

=> Triangle de pascal   =     (1 e jx3) + ((2 e jx2) x  (e -jx)) +   ((2 e jx ) x   (e -jx2)) + (1 e -jx3)
                               /2

Et arrivé a la je suis bloquer je sais pas trop quoi faire pour retrouver du cos et du sinus .

Merci .

Posté par re : Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 12:59

Bonjour,

$4$cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \\ cos^3(x)=\frac{1}{8}{(e^{ix}+e^{-ix})}^3 \\ cos^3(x)=\frac{1}{8}(e^{3ix}+e^{-3ix}+3e^{2ix}\times e^{-ix}+3e^{-2ix}\times e^{ix}) \\ cos^3(x)=\frac{1}{8}(e^{3ix}+e^{-3ix}+3(e^{ix}+e^{-ix})) \\ cos^3(x)=\frac{1}{8}(2cos(3x)+6cos(x)) \\ cos^3(x)=\frac{1}{4}(cos(3x)+3cos(x))$

C'est ça que tu veux ?

Posté par Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 13:29

euh pas tout a fait enfete la methode de mon prof c'est de regrouper les exp ensemble et aprés déduire d'aprés une formule que je ne retrouve jamais c'est e nx + e -nx = cos quelque chose

Posté par re : Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 13:32

A la ligne 4 "les e sont regroupés",

et ta formule devrait être :

$3$e^{nx}+e^{-nx}=2cos(nx)$

Posté par re : Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 13:34

Je te prie de m'excuser c'est :

$4$\rm e^{nix}+e^{-nix}=2cos(nx)$

Posté par Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 13:36

je n'arrive pas a comprendre les fractions que tu met devant Pourrais tu m'expliquer plus en détail si cela ne te dérange pas.

Posté par re : Linearisation Euler moivre de cos 3x 12-12-09 à 14:06

Ok,

tu dois savoir que :

$2$e^{ix}=cos(x)+isinx(x)$

de même

$2$e^{-ix}=cos(-x)+isin(-x)$

et $2$cos(x)=cos(-x)$ , $-sin(x)=sin(-x)$

on a donc :

$5$\fbox{e^{ix}=cos(x)+isin(x) \\ e^{-ix}=cos(x)-isin(x)}$

on peut donc aisément isoler $2$cos(x)$ et $2$sin(x)$ :

$2$e^{ix}+e^{-ix}=cos(x)+isin(x)+cos(x)-isin(x) \\ e^{ix}+e^{-ix}=2cos(x)$
$5$\fbox{cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})}$

$2$e^{ix}-e^{-ix}=cos(x)+isin(x)-cos(x)+isin(x) \\ e^{ix}-e^{-ix}=2isin(x)$
$5$\fbox{sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})}$

voilà