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Posté par Claraaa44
Bonjour tout le monde !
Mon examen de logique approchant, j'essaie de m'entraîner un peu sur des exercices supplémentaires fournis par le prof, mais je suis bloquée sur celui-ci dessous 
:
Un prisonnier doit choisir entre deux cellules, dont l'une mène à la liberté et l'autre sur un lion. On notera que les deux cellules peuvent contenir un lion, ou mener à la liberté.
L'affiche de la cellule A dit la vérité si la cellule A mène à la liberté, mais elle ment si il y a un lion. Pour la cellule B, c'est l'inverse : s'il y a un lion, elle dit la vérité, si elle mène à la liberté, elle ment. Voici donc les deux affiches. L'une dit : Les deux cellules contiennent des lions et l'autre : Cette cellule contient un lion. Quelle porte choisir ?
Pour nous guider, le prof nous a dit de formaliser l'énoncé puis d'effectuer simplement une table de vérité. Petit problème : je ne vois pas du tout comment formaliser la problématique.
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Je note a : La porte A mène à la liberté et b : La porte B mène à la liberté.
Dans ce cas :
- Les deux cellules contiennent des lions devient ¬b ∧ ¬a (qu'importe que l'affiche se trouve sur A ou sur B)
- Cette cellule contient un lion devient ¬a si l'affiche est sur A et ¬b si l'affiche est sur B.
Sauf que là je bloque : je ne vois pas comment exprimer en formule logique le fait l'énoncé entier, d'autant plus qu'on ne sait pas sur quel porte se trouve chaque message...
Essaie de résoudre le problème à la main pour t'aider à démarrer.
Cas 1 : la première phrase est en A et la seconde en B
Supposons que l'affiche en A dise la vérité. Alors A mène forcément à la liberté, donc ça contredit ce qui est sur l'affiche. Absurde.
On sait donc que
* l'affiche en A ment
* A mène à un lion
* et comme au moins l'une des portes mène à la vérité (puisque l'assertion placardée en A est fausse), B mène à la liberté
Cela ne contredit pas l'affiche en B, puisque B mène à la liberté implique que l'affiche en B dit faux, et l'affiche dit que la porte mène à un lion.
Conclusion du cas 1 : prendre la porte B
Cas 2 : la première phrase est en B et la seconde en A
Supposons que l'affiche en A ne dise pas la vérité. Alors par hypothèse, A mène forcément à un lion. Or, l'affiche A dit faussement que A mène à un lion. Contradiction. Donc A dit la vérité.
Mais si A dit la vérité, alors A mène à la liberté alors que l'affiche, qui dit vrai, dit que A mène à un lion. Encore une contradiction.
Conclusion du cas 2 : ce cas de figure ne peut pas arriver.
Conclusion générale : prendre la porte B
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Maintenant si tu réfléchis un peu à tout ça et que tu appelles
a: "la porte A mène à la liberté"
b: "la porte B mène à la liberté"
R: "l'affiche qui dit que cette porte mène à un lion, est placardée sur la porte A"
A = non(a) et non(b) = non(a ou b)
le but est de montrer que b est une tautologie.
Tu peux commencer par prouver que R est toujours faux. Ca correspond au cas 2 dans mon paragraphe précédent !
Ensuite, souviens toi que l'affiche placardée en A dit vrai si et seulement si a est vrai. Donc la proposition A (qui est forcément placardée en A, puisque R est faux) est équivalente à a.
Donc a (équivaut à, donc) implique que non(a) et non(b). En particulier, a implique non(a). Donc a est forcément faux.
Mais a = A = non(b). A est faux parce que a est faux et donc b est vrai