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loi de cauchy et fonction caractéristique

Posté par
scrogneugneu 02-02-09 à 20:31

Bonsoir,

Dans la première question du premier exo, on me demande de calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire Y suivant la loi de densité \frac{1}{2}exp{-|y|}

Je trouve : pour t \in \mathbb{R} : \Phi_Y(t)=\frac{1}{1+t^2}

On me demande ensuite d'en déduire :la fonction caractéristique d'une variable aléatoire de Cauchy standard C(1)

Je note X cette variable, on a donc : f_X(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2} pour x\in \mathbb{R}

J'ai fait :

Soit t \in \mathbb{R} : \Phi_X(t)=\int_{\mathbb{R}} exp{ixt}\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}d\lambda(x)=\int_{\mathbb{R}}exp{ixt}\frac{1}{\pi}\Phi_Y(x)d\lambda(x)

Et là je bloque !

Un peu d'aide s'il vous plait serait la bienvenue !

Merci et bonne soirée.

Posté par
robby3re : loi de cauchy et fonction caractéristique 02-02-09 à 21:00

Bonsoir,

5$ \phi_X(t)=\Bigint_{\mathbb{R}} exp{itx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}dx pour 5$ t\in \mathbb{R}

on remarque que 5$ \fbox{\phi_X(t)=\frac{1}{\pi}\hat{\phi_Y(t)}}

et comme 5$ \phi_Y est integrable par rapport à la mesure de Lebesgue, la formule d'inversion de Fourier donne:

5$ \frac{1}{2}exp{-y}=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}exp{-itx}\phi_Y(t)dt=\frac{1}{2\pi}\hat{\phi_Y(-x)} \\
d'ou 5$ \hat{\phi_Y(-x)}=\pi.exp{-y}=\hat{\phi_Y(x)} \\
et 5$ \red \fbox{\fbox{\phi_X(t)=exp{-t}}}

voilà,sauf erreur,je me suis peut-etre emmêlé entre x et y vers la fin!

Posté par
scrogneugneure : loi de cauchy et fonction caractéristique 02-02-09 à 21:02

Salut robby, et merci de me répondre

Quelle définition as-tu pour f chapeau ?

Moi j'ai la transfo de fourier avec des cosinus :S

Posté par
robby3re : loi de cauchy et fonction caractéristique 02-02-09 à 21:07

5$ \hat{f(t)}=\Bigint_{\mathbb{R}}f(x)exp{-itx}dx \\
ile me semble bien

Posté par
robby3re : loi de cauchy et fonction caractéristique 02-02-09 à 21:17

c'est pas -itx mais itx plutot!(au niveau de l'exponentielle!)


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