Bonsoir à tous,
je ne parviens pas à démontrer ceci:
Dans , une lci notées *, définie par :
( (a,b) 2 a*b = ab-2(a+b)+6
I) Démontrer que (,*) est un monoïde commutatif,
II) Quels sont les entiers relatifs qui ont un symétrique pour la loi *
J'ai montré la commutativité par a*b = b*a puisque nous sommes dans avec des propriétés connues...
ensuite je me plante dans la démonstration de l'associativité (bien que je le sente) et de la recherche de l'élément neutre et de la symétrie.
Mon approche calculatoire est défaillante ...et mes livres ne me guident que sur les concepts ... que j'ai cru assimilés.
merci pour vos conseils
Salut
Pour le neutre, 3 me semble être un bon candidat !
Pour l'associativité c'est juste du calcul bourrin mais ça marche bien
Pour l'associativité il suffit d'écrire la définition (en algèbre on fait souvent un recourt à la définition).
* est associative si et seulement si :
Pour tout a,b et c dans Z on a :
a*(b*c)=(a*b)*c.
a*(b*c)=a(b*c)-2(a+(b*c))+6
=a[bc-2(b+c)+6]-2[a+bc-2(b+c)+6]+6=...
On calcule de même (a*b)*c et on compare.
Pour l'élément neutre il faut faire très attention par rapport à l'équation définissant cet élément :
On cherche e dans Z tel que pour tout a dans Z e*a=a, l'inconnu c'est bien e et a est arbitraire dans Z.
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