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loi de poisson

Posté par
julie330 17-11-09 à 10:50

bonjour,
voici un exo sur lequel je bloque:

le nombre de clients arrivant à une caisse donnée d'une grande surface pendant une periode T suit sensiblement une loi de Poisson.
Il y en a en moyenne 10.
Un client sur 3 paie par chèque et 2 sur 3 par carte bancaire. Chaque client se moque du mode de paeiment des autres clients.

1) 10 clients arrivent à la caisse . Quelle est la probabilité que exactement 3 paient par chèqye ? Qu'au moins 3 paient par carte bancaire ?

2) On designe par X la v.a.r égale au nombre de clients qui paient par cheque ependant ue periode T . Quelle est la loi de porbabilité de X? Calculer E(X) et V(X) . Generaliser au cas où on a une loi de poisson de parametre et une proportion p de gens qui paient par cheque.

Je dois utiliser les tables de statistiques pour faire ça .

merci de votre aide

Posté par
nipargre : loi de poisson 17-11-09 à 12:07

bonjour
pour la question 1, si l'on désigne par U la variable aléatoire égale au nombre de clients, sur les dix ,qui paient par chèque alors U suit la loi binomiale de paramètres 10 et 1/3; notation U~B(10;1/3)
p(U=k)=C_{10}^k (1/3)^k (2/3)^{10-k}pour 0k10
p(U=3)=C_{10}^3 (1/3)^3 (2/3)^{7}=0.26
sauf erreur

Posté par
veledare : loi de poisson 17-11-09 à 16:10

bonjour,
soit X la v.a.égale au nombre de clients payant par chèque au cours d'une période T et Y le nombre de clients arrivant durant cette période
pour kN(X=k)=\cup_{n\ge{k}}((X=k)\cap(Y=n))
p(X=k)=\bigsum_{n\ge{k}}p((X=k)\cap(Y=n))=\bigsum_{n\ge{k}}p((X=k)/(Y=n))P(Y=n)
avec
p((X=k)/(Y=n))=C_n^k(\frac{1}{3})^k.(\frac{2}{3})^{n-k}
p(Y=n)=e^{-10}\frac{(10)^n}{n!}

Posté par
veledare : loi de poisson 17-11-09 à 16:26

la loi de X est une loi binomiale conditionnée par une loi de poisson
c'est un peu calculatoire mais tu vas trouver une loi de poisson de paramètre \frac{10}{3}


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