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loi de probabilité

Posté par
neuneu 05-10-08 à 18:46

Bonsoir je travaille sur un exercice de probabilité qui me pose des problèmes. \frac{1}{2}
Est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait?
Merci
Soit n un entier non nul et a appartenant à ]0,1[.
(X,Y) est un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé fini( , P)
On suppose que X suit la loi binomiale B(n,a) et que pour tout i de [[0,n]] la loi conditionnelle
de Y sachant X=i est la loi binomiale B(i,a):
P(Y=j|X=i)= \(i\\j\) a^j(1-a)^{i-j}

1)Calculer en fonction de n et a le nombre P(X=Y)
J'ai dit que P(X=Y)= \sum_{i=0}^n P(X=i,Y=j)=\sum_{i=0}^n P(X=i)P(Y=j|X=i)=\sum_{i=0}^n\(n\\i\) a^{2i}(1-a)^{n-i}

2)Pour tout (i,j) de [[0,n]]*[[0,n]] , calculer p_{ij}:=P((X,Y)=(i,j))
J'ai dit P((X,Y)=(i,j))=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\(i\\j\)\(n\\i\)a^{j+1}(1-a)^{n-j}
mais même en développant \(i\\j\)\(n\\i\) , je ne trouve rien de plus simple, c'est normal?

3)Déterminer la loi de probabilité de X-Y
là je suis complètement perdue
P(X-Y=k)=\sum_{i=0}^n P(X=k+i,Y=i)=\sum_{i=0}^n\(k+i\\i\)\(n\\k+i\)a^{i}(1-a)^{n-i}
et là je ne vois pas comment je peux simplifier pour trouver la loi
si je développe (k+i\\i\)\(n\\k+i\) j'obtiens \frac{n!}{k!i!(n-k-i)!} et je ne sais pas quoi faire.

On me demande ensuite la loi de Y mais je me retrouve bloquée comme au dessus .
Merci pour votre aide.

Posté par
neuneure : loi de probabilité 05-10-08 à 19:23

Bonsoir je ne comprends pas , je n'arrive pas à faire les signes avec latex ce soir

Posté par
PILre : loi de probabilité 06-10-08 à 08:39

Bonjour,

J'ai trouvé comme toi et je ne vois pas de simplfication intéressante ...
Mais pour la loi de Y, en partant de  P(Y=m) = \sum_{i=0}^n P(X=i et Y=m) = \sum_{i=m}^n P(X=i)P(Y=m|X=i)  j'obtiens que Y suit une loi binomiale B(n,a2). Essaie !

Posté par
Fradelre : loi de probabilité 06-10-08 à 10:40

Bonjour

oui, moi aussi j'obtiens les mêmes résultats que toi, neuneu, pour la première et la seconde question (je pense que l'exposant j+1 pour a dans P((x,Y)=(i,j)) est une erreur d'écriture. Il s'agit en fait de i+j, n'est-ce pas ?)

Je ne crois pas qu'on puisse simplifier d'avantage.

Pour la troisième question, je réduis ma somme de 0 à n-k puisque k + i n ; je crois qu'il en manque un morceaux (ou peut-être est-ce encore une erreur d'écriture): je trouve  k+2i  comme exposant pour a, car  ak+i  dans  P(X = k + i), et  ai  dans  P(Y = i / X = k + i).
Là encore, je ne vois pas non plus de réduction.

Quant à la loi de Y, je suis presque d'accord avec toi PIL ; mais je ne vois pas ce qui te permet d'obtenir une loi binomiale   . Comme précédemment, j'ai un produit de coefficients binomiaux qui ne semblent pas se réduire. Comment t'y prends-tu ?

Posté par
PILre : loi de probabilité 06-10-08 à 16:56

Bonjour,

Voici le calcul :

3$\rm P(Y=m) = \sum_{i=m}^n P(X=i)P(Y=m|X=i) = \sum_{i=m}^n\(n\\i\)a^i(1-a)^{n-i}\(i\\m\)a^m(1-a)^{i-m} = \sum_{i=m}^n \(n\\i\)\(i\\m\)a^{m+i}(1-a)^{n-m}

et en développant les coefficients binomiaux et en sortant de la somme ce qui ne contient pas "i"

3$\rm = \frac{n!}{m!}a^m(1-a)^{n-m} \sum_{i=m}^n\frac{1}{(n-i)!(i-m)!} a^i

on multiplie par 3$\rm \frac{(n-m)!}{(n-m)!}  et on obtient

3$\rm ... = \(n\\m\) a^m(1-a)^{n-m} \sum_{i=m}^n \(n-m\\i-m\)a^i

et cette dernière somme vaut  am(1+a)n-m, donc

3$\rm P(Y=m) = \(n\\m\)a^m(1-a)^{n-m}a^m(1+a)^{n-m} = \(n\\m\)a^{2m}(1-a^2)^{n-m}

C'est bien la loi binomiale B(n,a2). Etes-vous d'accord ?

Posté par
Fradelre : loi de probabilité 07-10-08 à 10:21

Bonjour



Je me demande si on ne peut pas utiliser la même méthode pour réduire P(X-Y=k) ; je jette un coup d'oeil  
A +

Posté par
Fradelre : loi de probabilité 07-10-08 à 10:57

Exact, en utilisant les notations de neuneu, on a
    (X - Y)() = {k ,  0 k n }
et
    P(X - Y = k) = \sum_{i=1}^{n-k} \(n\\k+i\)\(k+i\\i\)a^{2i}(1-a)^{n-i}

Avec ta méthode PIL, on obtient (sauf erreur) :
    P(X - Y = k) = \(n\\k\)(a-a^2)^k(1-a+a^2)^{n-k}

Bien sûr  a - a2 > 0  puisque  0 < a < 1 .
On en déduit donc que X-Y suit une loi binomiale B(n,a-a2)  

Posté par
PILre : loi de probabilité 07-10-08 à 22:08

Bonsoir,

C'est tout bon Fradel !

Tu noteras qu'avec ton résultat,  P(X-Y=0) = (1-a+a2)n. Mais c'est P(X=Y), et c'est exactement le résultat obtenu par neuneu à la question 1) si on le lit avec la formule du binôme !  Je n'avais rien vu en première lecture ...

Posté par
Fradelre : loi de probabilité 08-10-08 à 07:01

Citation :
Je n'avais rien vu en première lecture ...


Moi non plus, mais ta démonstration pour la loi de Y a été le déclencheur

Posté par
neuneure : loi de probabilité 09-10-08 à 13:44

Bonjour désolé de vous remercier que maintenant pour votre aide.
J'étais persuadé que mon message n'avait pas été lu car on ne pouvait pas lire les signes latex...qui marchent d'ailleurs quand je lis mon message aujourd'hui.
Donc merci vraiment et désolé encore

Posté par
Fradelre : loi de probabilité 11-10-08 à 08:24


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