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Loi de probabilité

Posté par
matix 25-05-09 à 23:08

Bonsoir,

On définit une variable aléatoire Y telle que Y=k si k \leq X < k+1 \forall k \in \mathbb{N}. Je précise que je connais la loi de X. Je cherche à montrer que P(Y=k)= p^k(1-p). Comment faut-il s'y prendre?

Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 25-05-09 à 23:38

Bonjour,

Citation :
Je précise que je connais la loi de X .


Oui, mais nous, on ne la connait pas...

Posté par
matixre : Loi de probabilité 25-05-09 à 23:44

En effet!
\\ f_X(x)= \lambda e^{- \lambda \, x} si x \geq 0, \lambda >0.

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 25-05-09 à 23:47

Je suppose que p=e^{-\lambda} et que f est une densité de probabilité ?

Posté par
matixre : Loi de probabilité 25-05-09 à 23:56

Justement, il s'agit de déterminer p, et f est par contre bien une densité de probabilité oui.

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:02

Bon, alors:

P(Y=k)=\Bigint_{k}^{k+1}\lambda e^{-\lambda t}\text{d}t=\left[-e^{-\lambda t}\right]_k^{k+1}

P(Y=k)=e^{-\lambda k}-e^{-\lambda (k+1)}=e^{-\lambda k}\left(1-e^{-\lambda}\right)

Il reste à poser p=e^{-\lambda} pour avoir: P(Y=k)=p^k(1-p)

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:05

Merci pour ton aide mais...

Citation :
P(Y=k)=\Bigint_{k}^{k+1}\lambda e^{-\lambda t}\text{d}t


Comment obtiens-tu cette égalité?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:09

X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda; c' est quasiment la définition:

Si la loi est de densité f(x), P([a,b])=\Bigint_a^bf(t)\,\text{d}t

non ?

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:10

Pour X je suis d'accord, mais il s'agit ici de Y non?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:14

Bien sûr, mais tu as toi-même écrit:

Citation :
Y=k si k \leq X < k+1 \forall k\in\mathbb{N}


Autrement dit:

P(Y=k)=P(k\leq X <k+1) pour tout k\in\mathbb{N}

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:20

Ah oui, tout simplement... Merci! Ceci étant fait, pour vérifier que le résultat trouvé est bien une loi de probabilité, suffit-il de vérifier que 0 \leq P(Y=k) \leq 1 ou y-a-t-il autre chose à vérifier?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:24

Il faudrait aussi vérifier que:

\Bigsum_{k=0}^{+\infty}P(Y=k)=1 je pense.

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:28

Ok... Vérifiables facilement ces deux conditions? Pour la première, ça semble plutôt immédiat.

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:32

Oh oui, je crois; pour la première p\in]0,1[ puisque \lambda >0 alors...

Pour la seconde tu peux sortir le 1-p de la somme et tu as la limite d' une somme de termes d' une suite géométrique de raison p dans la somme...

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:40

En effet, je viens de le faire! Encore merci!

Tant que j'y suis, pour déterminer E(Y), je trouve pour commencer:

E(Y)= (1-p) \bigsum_{k=1}^{+ \infty} kp^k

Peut-on en faire quelque chose?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 00:54

As-tu entendu parler de loi géométrique: c' est la loi que suit Y

En principe, ici, E(Y)=\frac{p}{1-p}

Sinon, il faut faire le calcul:

\Bigsum_{k=0}^{n}p^k=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}

et on dérive les 2 membres:

\frac{1}{p}\Bigsum_{k=0}^{n}kp^{k}=\frac{np^{n+1}-(n+1)p^n+1}{(p-1)^2}

et on passe à la limite:

\frac{1}{p}\Bigsum_{k=0}^{\infty}kp^k=\frac{1}{1-p)^2}

et E(Y)=\frac{p}{1-p}

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 01:25

Ok merci!

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 02:25

Combien est-on censé trouver pour la variance de Y? (je ne veux pas le détail du calcul, je vais essayer de le faire moi-même! )

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 11:10

Re,

En principe, ici, tu dois tomber sur \frac{p}{(1-p)^2}

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 12:40

C'est bien ce que je trouve!

Pour continuer, j'ai voulu m'amuser à retrouver ces expressions d'espérance et de variance via la fonction caractéristique de Y, que j'appelle \Phi_Y.

Je trouve \Phi_Y(t)=\frac{1-p}{1-pe^{it}}. De là, je trouve que \Phi'_Y(0) = i E(Y), d'où, en dérivant l'expression précédente, l'expression de l'espérance trouvée plus haut.

J'ai voulu raisonner de même pour la variance, mais là je bloque un peu, peut-être des erreurs calculatoires... Déjà, je trouve que Var(Y) = (\Phi'_Y(0))^2 - \Phi''_Y(0), est-ce correct? Si tel est bien le cas, j'ai dû me tromper dans le calcul des dérivées...

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 13:19

Citation :
Var(Y) = \Phi'_Y(0))^2 - \Phi''_Y(0)


C' est bien ça...

Citation :
Si tel est bien le cas, j'ai dû me tromper dans le calcul des dérivées...


Probable...

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 13:27

Voici ce que je trouve pour la dérivée seconde:

\Phi''_Y(t)=\frac{pe^{it}(1-p)(-1-pe^{it})}{(1-pe^{it})^3}

Correct?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 13:37

J' ai la même chose...

... et j' obtiens bien V(Y)=\frac{p}{(1-p)^2}...

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 13:49

En effet ça marche! Comme je le présumais, une erreur d'étourderie...

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 13:51

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 15:01

A quoi est égal E(Y+1)? E(Y) + 1 non?

Posté par
cailloux Correcteurre : Loi de probabilité 26-05-09 à 15:23

Voui!

Posté par
matixre : Loi de probabilité 26-05-09 à 15:34

Merci pour la confirmation!


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