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Loi de Rayleigh
Posté par CKentin
Soit une variable aléatoire T qui suit une loi de Rayleigh de paramètre 1 dont la fontcion de répartition FT est définie par :
FT(t) = (1-e-t²/2) si t
0 et FT(t) = 0 si t<0.
Calculer p(T
1) et en donner une interprétation géométrique à l'aide de la courbe C représentative de fT.
Alors voila ce que j'ai fait :
J'ai tout d'abord cherché la densité de probabilité fT de T en dérivant FT(t) :
fT(t) = te-t²/2 si t0 et fT(t) =0 si t<0.
J'ai ensuite étudier les variations de cette fonction pour en avoir la courbe. Voici ces variations :
La fonction vaut 0 sur ]-
;0].
Croissante sur ]0;1]
Décroissante sur [1;+[
Elle atteint son maximum e-1/2 pour t=1
fT(0)=0
En + cette courbe admet l'axe Ox comme asymptote horizontale.
Et la j'arrive donc à cette fameuse question ou je dois calculer p(T1).
J'ai donc essaye en posant que p(T1) = 
1fT(t).dt
Puis 1fT(t).dt = 00.dt + 01te-t²/2.dt
Mais le problème et qu'intégrer 01te-t²/2.dt par ipp plusieurs fois ne me mène à rien car cela amène à des calculs très complexes que je n'arrive pas à résoudre.
Si quelqu'un peut m'apporter son aide, ça ne serait pas de refus !
PS : Lorsqu'il manque une borne sur l'intégrale, c'est un -.
bonsoir
deux petites remarques :
1) t*exp(-t²/2) est à peu de chose près du type u'*exp(u)... donc se primitive avec les connaissances de terminale.
2) P(T1)=F(1) ... c'est comme qui dirait la définition de la fonction de répartition... donc revenir à l'intégrale de la densité alors qu'on connait la fonction de repartition est un peu une perte de temps !
MM
En fait je ne sais pas trop car dans la plupart des exercices rencontrés, ont devait repartir de la fonction fT(t) qu'il fallait alors réintégrer en sortant les constantes, ceci dit ici pas de constantes, donc j'aimerais pourvoir utiliser ce que tu me proposes qui semble le plus évident, mais je ne sais pas vraiment si cela est correct :s ! Mais si tu me le confirme !
Ce qu'il faut avant tout, c'est connaître les définitions du cours...
c'est quoi la fonction de répartition d'une VA ?
En effet MM, la primitive de te-t²/2 est e-t²/2/2.
C'est correct d'utiliser cela et de ensuite lui appliquer t=1 ?
sans le /2 ! Petit mélange dans mes feuilles ! Mais alors cela revient à utiliser la répartition ? la densité ne me servirait alors qu'à obtenir la courbe ?
sans le "/2"... comme tu dis... et peut-être avec un signe "-" aussi non ?
mais je ne comprends pas pourquoi tu t'évertues à calculer l'intégrale de la densité !!!!!!!!!!
Oui, en effet vu que cela m'amène à retrouver la répartion, au lieu d'appliquer simplement la définition :
"La fonction de répartition d'une VA X est la fonction qui définie FX(t) = p(Xt)."
Mais qu'en est alors l'interprétation géographique ? C'est l'aire sous la courbe C de fT(t) entre 0 et 1. JE ne vois que ça comme interprétation.
Merci !
Citation :
l'interprétation géographique
l'interprétation géographique
:?:?:?
oui, l'interprétation géométrique est une histoire d'aire sous la courbe...
Oui géométrique ! Autant pour moi, la fatigue commence à se faire sentir ! Elle est bien bonne celle la l'interprétation géographique ^^ !
Donc mon interprétation géométrique est l'aire entre la courbe C de fT(t)et Ox entre 0 et 1 !
Alors voici la suite, pour voir si ce que j'ai fait est bon MM si tu est toujours la !
Rappel : f(t)=te-t²/2
On me demande de calculer E(T) et on me rappel que sur 
((1/
(2
))e-x²/2.dx = 1
Donc E(T)=0+inftf(t)dt = 0+inft²e-t²/2.
J'intègre donc par partie en posant :
u = t d'où u' = 1
v' = te-t²/2 = f(t) d'ou v = F(t) = 1-e-t²/2
Et donc E(T) = [t-te-t²/2]0+inf - 0+inf1-e-t²/2.dt
Ceci équivaut a lim A
0 [t-te-t²/2]A+inf-[t+((1/t)e-t²/2)]A+inf
lim A0 [t-te-t²/2-t-((1/t)e-t²/2)]A+inf
lim A0 [-te-t²/2-((1/t)e-t²/2)]A+inf
= 0 + 0 + 0 + e-A²/2 = e0 = 1 quand A0
Cependant je n'utilise pas du tout le petit rappel sur fait au début, donc cela ne m'étonnerait pas d'avoir commis une erreur la dessous !
Dans l'hypothèse ou cela serait bon, je dois alors trouver E(T²) et 
(t)
E(T²) = 0+inf t3e-t²/2.dt
Je pose cette fois ci :
u = t² d'ou u' = 2t
v = te-t²/2 = f(t) d'ou v' = F(t) = 1-e-t²/2
Alors E(T²) = [t²-t²e-t²/2]0+inf - 2 0+inft-te-t²/2.dt
Ce qui équivaut à lim A0 [t²-t²e-t²/2]A+inf - 2[t²/2-1+e-t²/2]A+inf
lim A0 [t²-t²e-t²/2-t²+2-2e-t²/2]A+inf
lim A0 [-t²e-t²/2+2-2e-t²/2]A+inf
lim A0 0+2+0+0-2+2e0=2
Merci à quelqu'un de plus doué que moi en Maths de checker les 4 post's au dessus et de me dire ce qu'il en est !
Bonne soirée à tous.
J'ai sensiblement le même exercice et j'arrive à 0 a la fin de la première intégration par parties... Je n'y arrive pas non plus, si quelqu'un pouvait m'/nous aider !
Ckentin : je ne comprends rien à tes histoire de limite quand A tend vers 0 !
pour E(T), tu dois calculer l'intégrale de 0 à + de (t² exp(-t²/2)).
par parties cela ne pose aucun problème avec u=t et v'(t)=t exp(-t²/2)
mais pourquoi prendre F comme primitive de v'... c'est vraiment le goût de se compliquer la vie !
donc u'=1 et v(t)= - exp(-t²/2)
cela te donne E(T)= [...] + exp(-t²/2) dt
le crochet de 0 à l'infini vaut 0 (croissance comparée à l'infini et valeur nulle en 0)
quant à l'intégrale, c'est la moitié de celle qui est donnée dans l'énoncé et vaut donc (/2)
d'où E(T)=(/2)
petite remarque : ta primitive de (1-exp(-t²/2)) dans ton post de 00:34 est totalement fausse !
mm