Bonjour Coralie7,

il faudrait calculer la densité de la somme de X+Y.
Comme X et Y sont indépendantes, cette densité est égale au produit de convolution des densités de X et Y.
As-tu vu cela en cous, et sais-tu faire ce calcul?

Euh... Malheureusement on n'a pas fait encore ces calculs en cours... Disons que les ''outils'' pour la résolntion se limitent aux notions de densité de probabilité et fonction de répartition. Cela m'étonnerait qu'il nous demande autant de calculs (les statistiques ne sont pas si poussées en médecine-sans pour autant etres faciles...).
Y aurait-il un autre moyen pour aboutir au résultat?

J'avoue ne pas voir, dans ce cas.

Es-tu bien sûre que vous n'avez pas vu ce résultat en cours?
Sans produit de convolution, le calcul de la fonction de répartition de X+Y est assez compliqué...

Oui je suis certaine que la notion de convolution n'a pas été abordé et pour ce qui est des fonctions de répartition, on nous a juste balancé les formules et basta(assez embetant j'avoue).
Merci tout de meme pour la piste, je vais voir si je peux rechercher ca un peu toute seule (et attendre d'autres interventions) sinon je verrais avec mon chargé de TD en fin de semaine.

Bon Dimanche!

Bon dimanche à toi aussi, et encore désolé de ne pas pouvoir t'en dire davantage!

Bonsoir Tigweg, ça faisait longtemps !   
Bonsoir Coralie,

La formule  E(X+Y) = E(X) + E(Y) est toujours valable, mais la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle ne suit pas une loi exponentielle. Dans le cas où X et Y ont la même moyenne, donc le même paramètre , la somme S = X + Y suit une loi Gamma (2,). Si les paramètres de X et Y sont différents, la loi de S n'a , me semble-t-il, pas de nom particulier. On peut calculer sa densité par  produit de convolution:
posons = 1/30  et   = 1/50  pour les paramètres de X et Y; alors la densité de S est



Dis-moi si tu veux le détail !

Salut PIL et merci!
Oui, ça faisait longtemps!

Il n'y a donc pas de méthode élémentaire pour prouver que X+Y ne suit pas une loi exponentielle? (en étudiant les moments d'ordre 1 et 2 par exemple?)

Je ne connais pas de calcul élémentaire qui prouverait que la somme de 2 va exponentielles indépendantes (disons de même paramètre) n'est pas exponentielle. Mais il me semble qu'on peut "comprendre" ce fait. D'abord, si c'était vrai pour la somme de deux va, ce serait aussi vrai pour la somme de n va. Alors :
1) contradiction avec le thm central-limite : la somme devrait suivre une loi approximativement normale lorsque n devient grand; or la loi exponentielle est vraiment différente d'une loi normale !
2) contradiction avec l'intuition dans l'application de la loi exponentielle aux problèmes de durée de vie : supposons qu'un élément d'un système a une durée de vie qui suit une loi exponentielle; dès qu'il est fichu, on le remplace par un même élément; on a une réserve de n éléments; le système sera en panne lorsque la réseve sera vide; la durée de vie du système est une va qui est la somme de n va exponentielles. On sent bien qu'elle n'est pas exponentielle: le risque de panne au début est très faible à cause de la réserve. Pour moi, cet exemple est parlant et me sert de garde-fou !

Merci pour ces deux heuristiques.
Je ne fais qu'entrevoir la deuxième, mais c'est sans doute le manque d'habitude!
Bonne nuit!

Bonjour,

Pour ta dernière question, Tigweg :  si X est une va exponentielle, on a P(XE(X)) = 1-1/e  quel que soit le paramètre; si X et Y sont 2 va exponentielles de même paramètre et indépendantes, on a P(X+YE(X+Y)) = 1-3/e². Donc X+Y n'est pas exponentielle ! Le premier calcul est immédiat, mais le deuxième est un cas particulier du calcul qui mène au produit de convolution ...

Hello PIL,

je ne connaissais pas cette propriété, merci!
Oui c'est tout-à-fait convaincant, même si pour le démontrer il faut en effet déjà connaître la densité de X+Y!

Salut Tigweg,

En poursuivant les calculs je trouve que si S_n est la somme de n va eponentielles (de même paramètre) indépendantes, alors



Par le thm central-limite, cette probabilité doit tendre vers 1/2 lorsque n tend vers l'infini. On doit donc avoir



Est-ce correct et vois-tu une preuve directe (sans proba) ?

Salut PIL,

très intéressant ce résultat!
Peut-être avec un coup de Taylor avec reste intégral?Je vais regarder un peu.

bonjour,

j'ai a peu prés le même probleme, je dois calculé la probabilité P(X +Y > z)
avec X et Y st de valeurs exponentielles indépendants et qui n'ont pas le  même paramétre.
j'ai essayé de suivre le raisonment suivie par "PIL" , ms je n'ai pas arrivé a démontré la fonction de densité h(s)
si vs pouvez me donner plus de détaille sur ça je serai reconnaissante.

Merci

Salut à tous,

ce topic date de plus de 6 mois mais il méritait d'être déterré !

En fait, c'est assez simple de montrer que la loi de 2 lois exponentielles indépendantes n'est pas une loi exponentielle :

Soient X ~ Exp(1/a), Y ~ Exp(1/b) et Z = X + Y, avec a,b différents de 0
alors E[X] = a et V[X] = a², E[Y] = b et V[Y] = b²
Si Z suit une loi exponentielle alors comme E[Z] = E[X] + E[Y] = a + b, on aurait alors Z ~ Exp( 1/(a+b) )
et donc V[Z] = (a + b)² or comme X et Y sont indépendants, on a V(Z) = a² + b²,
si Z suit bien une loi exponentielle, on aurait 2ab = 0 ce qui est absurde.

Pour ton problème Simaa, il y a la méthode directe et la méthode passant par la fonction de répartition que l'on doit dériver ensuite, je te donne les éléments pour la méthode directe :

Tu te donnes une fonctions h qui va bien, h borélienne bornée suffit (mais en pratique, on s'en fout),
le but est de trouver au final une fonction p(z) tel que :
E[h(X + Y)] = h(z)p(z)dz
alors forcément, p est la densité de Z.

On change les notations, X ~ Exp(a), Y ~ Exp(b) et Z = X + Y, avec a,b différents de 0
Donc tu as :
pr tt h boréliennes bornées,
E[h(X + Y)] = h(x + y)abe^-axe^-bydxdy (tout ça, par indépendance),
Ensuite, tu isoles une de 2 des variables, mettons x :
E[h(X + Y)] = abe^-ax(h(x + y)e^-bydy)dx
puis tu fais un changement de variables sur y, z = x + y, attention, dz = dy, tu regardes bien tes bornes pour z, puis en utilisant le théorême de Tonelli, tu inverses x et z et intègres en x.

Voilà, c'est à peu près tout.

++

Erratum,
dans mon exemple, j'ai isolé y et pas x !!

merci bcp pour les explications

Bonsoir,

Oliveiro : très bien ta preuve, merci.
Je n'ai pas trouvé de preuve non probabiliste de cette limite (post du 24-02-09; 21:57). As-tu une idée ?

Salut PIL,

j'ai cherché une bonne partie de la matinée mais rien de fructueux, désolé.
Je réessaierai un peu plus tard.