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Loi forte des grands nombres

Posté par
fade2black 08-02-09 à 19:13

Bonjour,

je suis en train de plancher sur un DM où on se propose de démontrer la loi forte des grands nombres.
Il y a un point de la démo où je bloque.

On a donc des variables aléatoires iid Xi, et on défini les variables Y_i=X_i*1_{|X_k|\le k} (où "1" est la fonction indicatrice).

Je dois montrer que E(Y_k^2)=\int_0^{\infty} 2yP(|Y_k|\ge y)dy

A vrai dire mes connaissancesa en probas sont très fragiles, je ne vois vraiment pas comment arriver à ce résultat. Merci de votre aide !

PS : j'ai montré des choses dans les questions précédentes, mais je ne pense pas que ça puisse être utile.

Posté par
fade2blackre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 19:14

Zut, je me suis trompé dans la définition des Y_k. On a bien sûr Y_k=X_k*1_{|X_k|\le k}

Posté par
kaiser Moderateurre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 20:30

Bonsoir fade2black

Utilise le fait que \Large{\mathb{P}(|Y_k|\ge y)=\Bigint \mathbb{1}_{|Y_k|\ge y}dP_{Y_k}}
Ensuite, fubinise.

Kaiser

Posté par
fade2blackre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 20:50

C'est pas plutôt {\mathb{P}(|Y_k|\ge y)=\Bigint \mathbb{1}_{|Y_k|\ge y}dP} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 22:14

Quel sens donnes-tu à dP tout seul ?
Quand tu intégres, tu dois intégrer contre la loi de \Large{Y_k}, d'où le fait d'écrire \Large{dP_{Y_k}}.

cela dit, ce que j'ai écrit n'est pas tout à fait correct. Il faudrait écrire :

\Large{\mathb{P}(|Y_k|\ge y)=\Bigint_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{[y,+\infty[}(|u|)\quad {dP}_{Y_k}(u)}

Kaiser

Posté par
fade2blackre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 22:42

Dans mon cours, on a écrit :

{\mathb{E}(X)=\Bigint_{\Omega} X(\omega)dP} = \Bigint_{\mathb{R}} xdP_X, la dernière égalité étant due au théorème de transfert.

Pour une intégrale selon la mesure de Lebesgue, on marque bien d{\lambda}, non ? Ben là P est aussi une mesure, on note dP.

C'est pas ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 22:48

oui, OK ! En fait, je crois que j'ai mélangé les deux écritures (pour moi, j'appliquais directement le théorème de transfert et mon intégrale était une intégrale sur \Large{\mathbb{R}}).

Bref, ce que tu as écrit est correct mais également l'égalité de mon dernier message.

Kaiser

Posté par
fade2blackre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 22:57

Ouf on est d'accord !

Je suis tellement peu à l'aise avec ces notions que je m'embrouille vite...

Merci pour ces indics, ça m'a permis de résoudre la question

Posté par
kaiser Moderateurre : Loi forte des grands nombres 08-02-09 à 22:58

Mais je t'en prie !


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