Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... IUT/DUT ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau IUT/DUT
Partager :

Loi normale

Posté par
nat2108 10-12-22 à 10:33

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice de maths.
Voici l'énoncé :
Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire X qui à chaque plaque de chocolat associe sa masse suit une loi normale de paramètres µ = 125 g et σ = 0,5 g. Une plaque est jugée conforme si sa masse est comprise entre 123,5 g et 126,5 g.
1) On prélève une plaque au hasard dans la production. Calculer la probabilité qu'elle soit conforme.

Cela signifie que p\left(\frac{123,5-125}{0,5} \right)<p(\frac{X-125}{0,5})<p\left(\frac{126,5-125}{0,5} \right)
= p(-3<U<3)
= p(U<3) - p(U>-3) = p(U<3) - p(U<3) = 0

Or ce n'est pas possible ...

Si une personne peut m'aider, merci !!

Posté par
Ulmierere : Loi normale 10-12-22 à 11:28

La rédaction est affreuse et tu ne prends ni la peine de mentionner que U est N(0,1), ni celle d'écrire quelque part que U = -U en loi. Mais ce n'est pas le problème principal.


Prends ton temps et écris une fois pour toutes:
Si a, b\in\R et U est de loi N(0,1), de densité que je note f

\begin{array}{lcl} \\ P(a \leqslant U\leqslant b) &=& 1_{\{a\leqslant b\}}\int_a^b f(t)dt\\ \\ &=& 1_{\{a\leqslant b\}}\cdot\left[\int_{-\infty}^b f(t)dt + \int_a^{-\infty}f(t)dt\right]\\ \\ &=& 1_{\{a\leqslant b\}}\cdot\left[\int_{-\infty}^b f(t)dt - \int_{-\infty}^af(t)dt\right]\\ \\ &=& 1_{\{a\leqslant b\}}\cdot\left[\Phi(b) - \Phi(a)\right] \\ \end{array}

Tu vois que c'est vrai pour la loi normale, mais aussi pour n'importe quelle v.a.r à densité. Et comme f n'a pas de discontinuité, tu peux mettre < à la place de \leqslant là où ça te chante.

En l'occurence, c'est P(U<3) - P(U<-3) et non P(U<3) - P(U>-3).

Posté par
nat2108re : Loi normale 10-12-22 à 11:48

*modération* >citation inutile supprimée*

Merci pour la réponse. Cependant je n'ai pas compris ce qu'est l'évenement contraire de P(U<-3), car je suis censé retrouver :
2 F(3) - 1 ce qui équivaut à 2*P(U<3) - 1.
De plus pourquoi dans la parenthèse on avait P(-3<U<3), comment on peut avoir P(U<-3) alors que U est censé être plus grand que -3 ?

Posté par
Ulmierere : Loi normale 10-12-22 à 12:23

Interprète l'intégrale en termes d'aire sous la courbe, si tu préfères

(Aire entre a et b) = (Aire entre -infini et b)   -  (Aire entre -infini et a)


Y'a pas d'histoire d'évènements contraires, et P(U<-3) est un réel et non un évenement
La seule chose à rajouter c'est que \{U<-3\} = \{-U > 3\} = \Omega \setminus \{-U \leqslant 3}. Ensuite, il faut utiliser le fait que U et -U ont la même loi

Posté par
carpediemre : Loi normale 10-12-22 à 12:34

salut

en DUT il n'est pas nécessaire de sortir toute cette théorie ...

nat2108 @ 10-12-2022 à 10:33

p\left(\frac{123,5-125}{0,5} \right)<p(\frac{X-125}{0,5})<p\left(\frac{126,5-125}{0,5} \right) = P(-3 < U < 3) = P(U < 3) - P(U > -3)
la dernière égalité est fausse et un simple dessin permet de donner le bon résultat

Posté par
nat2108re : Loi normale 10-12-22 à 14:56

*modération* >citation inutile supprimée*

D'accord mais je n'ai toujours pas compris. Pourriez-vous me faire un dessin svp ? Merci !

Posté par
carpediemre : Loi normale 10-12-22 à 15:04

inutile de citer mon msg !!

ben non c'est à toi de faire le dessin avec la gaussienne, de représenter ce que tu veux : P(-3 < X < 3) et de représenter ce que tu as écrit ensuite dans la dernière égalité

Posté par
nat2108re : Loi normale 10-12-22 à 15:25

J'ai compris : P(-3<U<3) = P(U<3) - P(U< -3) = P(U<3) - P(U>3)
Or P(U>3) donc comme la loi normale calcule uniquement des probas ou U<x alors P(U>3) = 1 - P(U<3)
Donc on a : P(-3<U<3) = P(U<3) - ( 1-P(U<3) ) = 2*P(U<3) - 1.

Posté par
carpediemre : Loi normale 10-12-22 à 17:17

ok c'est bon ... avec quelques commentaires :

nat2108 @ 10-12-2022 à 15:25

J'ai compris : P(-3<U<3) = P(U<3) - P(U< -3) = P(U<3) - P(U>3)  par symétrie de la courbe ou parité de la fonction de densité
Or P(U>3)donc comme la loi normale calcule uniquement des probas ou U<x alors P(U>3) = 1 - P(U<3)
Donc on a : P(-3<U<3) = P(U<3) - ( 1-P(U<3) ) = 2*P(U<3) - 1.
ce qui est entre le or et le donc n'est pas une phrase car il n'y a pas de verbe

et ce qui suit le comme ne veut pas dire grand chose

la fonction de répartition est P(X < x) = F(x) et les calculateurs donnent (valeur approchée) ce résultat !!

Posté par
alb12re : Loi normale 10-12-22 à 18:50

salut,
D'accord avec carpediem, à ce niveau il faut faire simple.
Ce que je ferais:
1/ pseudo demo graphique c'est ce que retiennent bien les etudiants
2/ Avoir dans le cours au moins les formules P(a<X<b)=F(b)-F(a) et F(-t)=1-F(t)
3/ verification directe à la calculatrice

Posté par
carpediemre : Loi normale 10-12-22 à 19:09

et pour compléter :

je ne sais pas ce qui est exigé/demandé en BUT mais en BTS un schéma est une "preuve" acceptée par le correcteur (consigne de correction)

Posté par
alb12re : Loi normale 11-12-22 à 17:26

toute methode est acceptable tant que cela reste coherent


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !