Niveau Maths sup

Lois usuelles

Posté par
chercheuse 19-03-09 à 13:26

Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice
Exercice

1) Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un ensemble $\Omega$
verifiant $\forall x \in X(\Omega), P(X = x) > 0$ . Montrer que
$X(\Omega)$ est fini ou dénombrable.
Indication : Montrer que pour
tout $n \in N$ , l'ensemble $\{x \in X(\Omega), P(X =x)\geq \frac{1}{n}\}$ est fini.

2) Soit X une variable aléatoire réelle discrète
    a) On suppose que $X$ admet un moment d'ordre 2. Démontrer qu'il existe un unique réel $x_{0}$   tel que la fonction $g(z) = E((X - z)^{2})$ soit minimum en ce point.
Déterminer $x_{0}$ et $g(x_{0})$ .

b) On appelle médiane de $X$ un réel $m$ tel que :
$P(X \geq m) \geq\frac{1}{2}$ et $P(X \leq m)\geq \frac{1}{2$ .
Démontrer qu'un tel réel existe toujours, mais qu'il n'est pas
nécessairement unique. Prouver que si X a un moment d'ordre 1 et m
est une médiane de X, alors $E(X - m) = inf {E(X - \alpha) : \alpha \in R}$ .

3) On désigne par $X_{1}$ et $X_ {2}$   le nombre de personnes se présentant pendant des intervalles
de temps successifs de même durée, `a deux guichets de la Sécurité Sociale. On suppose que $X_{1}$ et
$X_ {2}$   suivant la loi de Poisson de paramètres respectifs $m_ {1}$   et $m_ {2}$ . On
constate qu'il est deux fois plus fréquent de voir $x_ {0}$   personnes en attente devant le deuxième guichet que devant le premier.
i)  Qu'elle condition satisfont $m_{1}$ et $m_{2}$ ?
ii) On a estime l'espérance de $X_{1} : m_{1}\simeq 2$ ; on a par
ailleurs $x_{0} = 5$ . Donner une valeur approchée de l'espérance de $X_{2}$ .

Merci beaucoup.

Posté par re : Lois usuelles 20-03-09 à 23:34

Bonsoir,

1) La somme $2$\rm \sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)$ est égale à 1, donc il y a au plus 1 x tel que P(X=x)1; il y a au plus 2 x tels que P(X=x)1/2; au plus 3 x tels que P(X=x)1/3, etc. Par hypothèse P(X=x)>0 pour tout xX(). Je te laisse conclure ...

2) Tu as g(z) = (x_i-z)²p_i; calcule la dérivée et annule-la.

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