Bonjour,
Je ne suis qu'en terminale S, cependant je me posais une question, et j'ai pensé que je trouverai surement une réponse sur le forum de Maths supérieures.
Comment calculer la longueur d'une courbe quelconque délimitée entre deux abscisses ?
Exemple : pour y = k, avec k un réel, la longueur de la courbe vaut L = b - a, avec a,b deux bornes telles que a < b.
Alors après avoir un peu réfléchis au sujet, j'ai tout d'abord pensé à utiliser l'intégration; cependant, à part pour le cas du trapèze ou du rectangle (donc pour des fonctions constantes ou affines) -où les formules reliant aires et hauteurs sont connues-, je n'arrive pas à en déduire la longueur de la courbe.
Je ne vous demande pas de me donner la solution, je compte la trouver seul, mais avec quelques pistes.
Merci par avance !
Stef
Bonjour
C'est bien une histoire d'intégration, mais bien plus compliquée que tu ne le crois... Cherche quelque part "intégrales curvilignes" et vois si tu accroches!
Bonjour,
voir ici par exemple :
Si on a une fonction f et C sa courbe représentative, il existe bien une intégrale qui permet de calculer la longueur d'un morceau de cette courbe.
Mais malheureusement, à part le cas de fonction assez simples, cette intégrale n'est en général pas calculable de manière exacte.
Ok, je vais étudier tout ça et je reviendrai poster des questions si j'ai des soucis.
Merci beaucoup,
Stef
Arf, ça me tue de dire ça mais l'article sur Wikipedia qui traite de l'intégrale curviligne ne m'a pas du tout parlé.
Honnêtement, je n'ai rien compris du tout.
N'y a-t-il pas d'autres moyens d'y parvenir ?
Bon, c'est vrai que l'article est peut-être un peu long et dense.
Va dans la section "Formulation" :
Soit f la fonction de la variable t, C sa courbe représentative, et a et b les deux bornes.
Alors la longueur de l'arc de courbe entre a et b est donné par L = intégrale de a à b de racine(1+f'(t)²).
Et voilà ! Donc, quelle que soit la fonction f (du moment qu'elle soit continue et dérivable entre a et b), on peut toujours calculer la longueur de l'arc de courbe par cette intégrale.
Je réponds avec pas mal de retard, je reviens de vacances.
Je n'ai pas très bien compris ce que c'était que deux fonctions coordonnées dans la phrase :
Si n'est pas dérivable, on peut toujours essayer de s'en sortir en prenant une subdivision la plus fine possible de [a,b] et en sommant les lignes polygonales :
Soit une subdivision de
On considère
Alors
Rebonjour
Pour décrire une courbe plane, on peut la donner sous forme paramétrique avec t décrivant un intervalle, (par exemple avec est un cercle) ou sous forme implicite donnée par une équation. le cercle: ensemble des (x,y) tels que . C'est la première forme qui est la plus maniable pour calculer la longueur.
Pour s'en persuader: pour un point matériel se déplaçant dans le plan (ou l'espace), sur un déplacement infinitésimal, le trajet parcouru est ||v.dt|| où v est la vitesse. Donc le déplacement total est donné par l'intégrale entre t1 et t2 de ||v||dt. (dans le cas d'un arc paramétré, "v" revient à "dOM/dt".
La démonstration rigoureuse de ce résultat n'est pas très compliquée pour un arc C1, en considérant le sup des longueurs des arcs polygonaux inscrits. (cf. le post de Zamot). On utilise des intégrales et on raisonne par double inégalité et passage au sup en prenant une subdivision régulière, et grace au caractère C1.
Tu peux le trouver ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur_d'un_arc
au paragraphe Définition de Jordan.
Salut à tous !
Et moi qui avait conçu un exo jamais fait dessus !
Voici un exo pour comprendre comment calculer la longueur d'une courbe : Exo : Longeur et centre de gravité d'une courbe
La partie B porte sur la position du centre de gravité de la courbe.
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