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MATRICE - Démonstration d'une propriété

Posté par
kaershaan 01-03-09 à 20:05

Bonjour,
je cherche à démontrer la propriété suivante (dans le cas de matrices inversibles et de dimension identique) :

(AB)^-1 = B^-1 x A^-1

Merci d'avance !

Posté par
infophilere : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:13

Bonjour ;

3$ (AB)^{-1}(AB)=I donne 3$ (AB)^{-1}A=B^{-1} puis 3$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Posté par
kaershaanre : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:28

Merci pour la reponse ^^
je ne comprend pas bien la premiere etape :
(AB)^-1(AB)=I   (ca ok ^^)
=> (AB)^-1 x A = B^-1 (je ne comprend pas pkoi)

Posté par
infophilere : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:31

Tu multiplies à droite chaque membre par B^{-1}.

Posté par
kaershaanre : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:31

et egalement dans la deuxieme etape,
pkoi (AB)^-1 = B^-1 x A^-1 et pas A^-1 x B^-1
pkoi ce n'est pas commutatif ?

Posté par
infophilere : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:33

Ensuite la dernière étape c'est pareil tu remultiplies à droite par A^{-1}.

De manière générale le produit de deux matrices n'est pas commutatif.

Posté par
kaershaanre : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:35

Ok merci beaucoup ! ^^

Posté par
infophilere : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:35

De rien

Posté par
kaershaanre : MATRICE - Démonstration d'une propriété 01-03-09 à 20:43

(AB)^-1 x (AB) x B^-1 = (AB)^-1 x A
c'est ca pour la premiere etape ?

Posté par
infophilere : MATRICE - Démonstration d'une propriété 02-03-09 à 19:14

Non.

Au départ par définition tu as 3$ (AB)^{-1}(AB)=I.

On enlève le dernier couple de parenthèses inutiles : 3$ (AB)^{-1}AB=I

Ensuite on multiplie à droite par B^{-1} : 3$ (AB)^{-1}A\underbrace{BB^{-1}}_{=I}=B^{-1} soit 3$ (AB)^{-1}A=B^{-1}.

On multiplie de même à droite par A^{-1} : 3$ (AB)^{-1}\underbrace{AA^{-1}}_{=I}=B^{-1}A^{-1}

D'où finalement 4$ \red \fbox{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}


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