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matrice et trace

Posté par
mladele 20-03-09 à 22:55

bonjour,

j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre.
pouvez vous me donner des pistes s'il vous plait?

Soit E le R espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 et de trace nulle. (si je comprends bien, quand on ajoute les nombres des diagonales on a zéro comme résultat).

Soit B = (\array{&1&0\\&2&3}\) et f l'endomorphisme de E tel que : f(M)=MB-BM

1) quelle est la dimension du R espace vectoriel des matrices réelles M_2(R) d'ordre 2? donner une base de cet espace.
2) donner une base B de E. quelle est sa dimension?
3) Ecrire dans cette base M(f,B)
4) calculer f^n(A) où A=(\array{&a&b\\&c&{-a}}).

pour la question 1, je répondrais 4, mais ça me semble trop simple.
donner une base de cet espace :
(\array{&a&0\\&0&0})(\array{&0&b\\&0&0})(\array{&0&0\\&c&0})(\array{&0&0\\&0&d})

pour la question 2 je dirais :
(\array{&a&0\\&0&-a})(\array{&0&b\\&0&0})(\array{&0&0\\&c&0}) on aurait donc une dimension 3.

pour la suite, je n'ai pas d'idée.

merci de votre aide.

M-Laure

Posté par
gui_toure : matrice et trace 20-03-09 à 23:04

Bonsoir M-Laure,

1) Oui tu as raison, 3$\dim\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)=4. Par contre, pour une base, j'aurais mis des 1 au lieu des lettres
Ca donne 3$E_1=\(\array{1&0\\0&0\) 3$E_2\(\array{0&1\\0&0\) 3$E_3=\(\array{0&0\\1&0\) 3$E_4\(\array{0&0\\0&1\) (c'est en fait la base canonique)

2) C'est bien c'est ça ! Pour justifier la dimension, on peut dire que c'est le noyau de l'application linéaire non nulle qui à une matrice lui associe la trace. C'est donc un hyperplan de 3$\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) donc un sous-espace vectoriel de dimension 3.

Ok pour une base de E, sauf qu'il y a des 1 au lieu des a,b et c.

3) Regarde ce que vaut 3$f(E_i) où les Ei ont été définis dans la première question.

4) Ecris déjà f(A)

Posté par
mladelere : matrice et trace 20-03-09 à 23:26

merci pour le démarrage.
donc f(E_1)=E_1B - BE_1=(\array{&0&0\\&-4&0) si je ne me suis pas trompée.


f(E_2)=(\array{&2&2\\&0&2})
et
f(E_3)=(\array{&0&0\\&2&0})
je ne me suis pas trompée?

en fait je ne comprends pas ce que signifie M(f,B).

question 4 :
j'ai trouvé :
f(A)= (\array{&2b&2b\\&-4a&-2b})

merci

Posté par
apaugamre : matrice et trace 21-03-09 à 04:04

L'espace considéré est de dimension 3 de base
3$E'_1=\(\array{1&0\\0&-1\),E_2\(\array{0&1\\0&0\) E_3=\(\array{0&0\\1&0\)
la matrice de f est donc 3X3
avec dans la premiere colonne les coeffs de f(E'_1) en fction de E'_1,E_2,E_3
dans la deuxieme colonne les coeffs de f(E_2) en fction de E'_1,E_2,E_3
dans la troisiéme colonne les coeffs de f(E_3) en fction de E'_1,E_2,E_3

Posté par
apaugamre : matrice et trace 21-03-09 à 04:07

Ensuite tu eleve cette matrice 3X3 à la puissance n pour 4)

Posté par
amauryxiv2re : matrice et trace 21-03-09 à 10:16

Pour la 4): ker(f) est l'ensemble des matrices qui commutent avec B. En tenant compte du fait que leur tyrace est nulle, on obtient après calcul que ce sont les matrices

Posté par
amauryxiv2re : matrice et trace 21-03-09 à 10:24

..... ou c = -2a.

Peut-être cela peut-il servir ?

Posté par
mladelere : matrice et trace 21-03-09 à 22:05

me revoici...

merci apaugam, mais je ne comprends pas pourquoi on a une matrice 3X3 ?
de plus je ne comprends toujours pas ce que veut dire M(f,B).
peux tu m'expliquer s'il te plait.

ensuite, merci aussi amauryxiv2 mais pourquoi parler de commutation et de noyau ici?

merci de vos aides...

Posté par
mladelere : matrice et trace 21-03-09 à 22:14

je crois avoir compris M(f,B) c'est la matrice de f dans la base B. c'est bien ça?
donc je dois réécrire les f(E_1), f(E_2) et f(E_3) dans la base B mais je ne comprends pas comment je dois faire malgré les explications.

par contre je me suis trompée dans les calculs :
f(E_1)=(\array{&0&0\\&-4&0) ça c'était bon.

f(E_2)=(\array{&2&2\\&0&-2})
et
f(E_3)=(\array{&0&0\\&-2&0})

Posté par
apaugamre : matrice et trace 22-03-09 à 00:59

L'espace considéré est de dimension 3 de base B
3$E'_1=\(\array{1&0\\0&-1\),E_2\(\array{0&1\\0&0\) E_3=\(\array{0&0\\1&0\)

par exemple :

f(E_2)=(\array{&2&2\\&0&-2})=2E'_1
d'où la deuxieme colonne de la matrice 3X3
\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)

Posté par
apaugamre : matrice et trace 22-03-09 à 01:16

pour t'aider un peu plus
f(E_2)=(\array{&2&2\\&0&-2})=2E'_1+0E_2+0E_3

Posté par
mladelere : matrice et trace 22-03-09 à 01:40

d'accord, je pense avoir compris.
ça donne donc :
(\array{&0&0&-4\\&2&0&0\\&0&0&-2}
c'est bien ça?

Posté par
mladelere : matrice et trace 22-03-09 à 01:42

oups, j'ai mal tapé ma matrice et j'ai cliqué sur poster au lieu de aperçu...
je recommence.

(\array{&0&2&0\\&0&0&0\\&-4&0&-2})
c'est bon?

Posté par
mladelere : matrice et trace 22-03-09 à 01:44

encore une erreur... décidément...

(\array{&0&2&0\\&0&2&0\\&-4&0&-2})

Posté par
apaugamre : matrice et trace 22-03-09 à 02:55

moi aussi j'ai fait une erreur
je n'avais pas mes lunettes !
f(E_2)=(\array{&2&2\\&0&-2})=2E'_1+2E_2+0E_3
donc
la deuxieme colonne de la matrice 3X3 est bien celle que tu trouves
\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)

Mais je vois que tu l'as corrigée
Tu as tout compris
par contre, je n'ai pas vérifié le calcul initial et n'ai pas envie de le faire
as tu bien calculé f(E^{prime}_1)  et pas f(E_1)
dans f(E'_1)=(\array{&0&0\\&-4&0) ?

Posté par
alex010893re : matrice et trace 22-03-09 à 06:36

Racine 62 + 7² - 8² * x^54 et ta le résultat

Posté par
mladelere : matrice et trace 22-03-09 à 11:12

oui, c'est bien pour E_1' que j'ai fais le calcul.
merci.
cela va t'il me servir pour calculer le f^n(A) du 4)?

hau alex010893 quel est ce calcul, et il donne le résultat de quoi?
merci de ta réponse.

Posté par
mladelere : matrice et trace 22-03-09 à 14:18

je reprends la suite de l'exercice...
f(A)=(\array{&2b&2b\\&-4a-2c&2b})
je m'étais encore trompée dans le début du forum

f^2(A)=f(f(A))=(\array{&4b&4B\\&-4b&-4b})

f^3(A)=(\array{&8b&0\\&-8b&-8b})

f^4(A)=(\array{&0&0\\&-16b&0})

f^5(A)=(\array{&0&0\\&32b&0})

f^6(A)=(\array{&0&0\\&-64b&0})

on peut donc supposer qu'à partir de n>=4 on a

f^n(A)=(\array{&0&0\\&-(-2)^nb&0})

mais cela me semble intuitif.
n'y aurait il pas une autre façon de le trouver?
par exemple avec une diagonalisation ou quelque chose comme ça?

merci.


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