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matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas)

Posté par
seb1122 20-02-09 à 20:43

Comment démontrer que les matrices formés des vecteurs lignes suivants:

A=( (1,0,0,0) , (0,0,1,0) , (0,0,0,0) ,  (0,0,0,-1) )

B=( (0,1,0,0) , (0,0,1,0) , (0,0,1,0) ,  (0,0,0,-1) )

J'ai tout essayé : trace, rg, déterminant, polynôme caractéristique et polynôme minimal.
Donc je suis coincé.

Merci d'avance

Posté par
Thallore : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 20-02-09 à 20:54

Bonjour,

A et B sont semblables si elles représentent la même fonction linéaire.

Soit f la fonction dont la matrice dans la base (e1,e2,e3,e4) soit B
alors f(e1)=0, f(e2)=e1, f(e3)=e2+e3, f(e4)=-e4
donc f(e1+e2+e3)=e1+e2+e3

Je pose v1=e1+e2+e3, v2=e1, v3=e2, v4=e4
alors f(v1)=v1, f(v2)=0, f(v3)=v2, f(v4)=-v4
Si tu montres que (v1,v2,v3,v4) est une base, alors tu as gagné !
car la matrice de f dans cette base est...A !

Voilà, sauf erreur.

Posté par
antho07re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 20-02-09 à 20:55

Bonsoir,

Ces deux matrices sont semblables

Posté par
antho07re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 20-02-09 à 20:58

Sinon, si tu connais, on peut toujours chercher leurs réduites de Jordan.

Posté par
lolo217re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 20-02-09 à 23:07

"J'ai tout essayé : trace, rg, déterminant, polynôme caractéristique et polynôme minimal."

les deux derniers contiennent les autres informations.

Posté par
seb1122re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 01:52

Merci beaucoup, oui je connait la réduction de jordan. En fait c'est extrait d'un exercice où je partis d'une matrice banale M, et l'on me proposait plusieurs matrices t je devais dire si oui ou non elles étaient semblables à A.

En effet, je me suis trompé, A et B ici sont semblables, j'ai en fait cherché une réduite de Jordan de B, de la forme de A.

""J'ai tout essayé : trace, rg, déterminant, polynôme caractéristique et polynôme minimal."

les deux derniers contiennent les autres informations. "
Qu'entends Lolo217 par ta dernière phrase ?
Deux matrices qui ont le même polynôme minimal sont-elles semblables ?

Posté par
apaugamre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 02:37

Deux matrices qui ont le même trace, rg, déterminant, polynôme caractéristique et polynôme minimal sont-elles semblables ?

bonne question !
et la réponse est non
en voici un exemple sous forme de Jordan
\left( \\ \begin{array}{ccccccccc} \\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array} \\ \right)

2 bloc de taille 3
1 bloc de taille 2
1 bloc de taille 1
ET


\left( \\ \begin{array}{ccccccccc} \\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array} \\ \right)

1 bloc de taille 3
3 bloc de taille 2
0 bloc de taille 1

trace et determinant sont nuls
polynome caract\'eristique X^9
polynome minimal X^3 car 3 est la taille maximale des blocs de jordan
rang 5 = nb de 1

Posté par
lolo217re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 10:03

Non dès que la dimension de l'espace est 4 il existe des matrices de même polynôme minimal et de même polynôme caractéristique qui ne sont pas semblables.
Je voulais simplement faire remarquer que si elles avaient ces deux polynômes en commun elles avaient forcément même déterminant, même trace et même rang.

Posté par
apaugamre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 11:43

Citation :
si elles avaient ces deux polynômes en commun elles avaient forcément même déterminant, même trace et même rang


Non, je suis désolée mais c'est faux pour le rg
en voici un exemple sous forme de Jordan
\left( \\ \begin{array}{ccccccccc} \\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array} \\ \right)

2 bloc de taille 3
1 bloc de taille 2
1 bloc de taille 1
ET


\left( \\ \begin{array}{ccccccccc} \\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array} \\ \right) \\
1 bloc de taille 3
2 bloc de taille 2
2 bloc de taille 1

trace et determinant sont nuls
polynome caract\'eristique X^9
polynome minimal X^3 car 3 est la taille maximale des blocs de jordan
rang  = nb de 1 est différent
5 pour la premiere
4 pour la seconde

Posté par
ottore : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 15:54

Non dès que la dimension de l'espace est 4 il existe des matrices de même polynôme minimal et de même polynôme caractéristique qui ne sont pas semblables.
J'aurais dit 5, me serais-je trompé ?

Posté par
Camélia Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:04

Bonjour otto et tous les autres!

C'est bien 4!

\(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\)

et

\(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\)

ont toutes deux le polynôme caractéristique X^4 et le polynôme minimal X^2 mais ne sont pas semblables!

Posté par
Tigweg Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:09

Bonjour!

Camélia, ta première matrice est de rang 1, donc son noyau est de dimension 3, par conséquent son polynôme minimal est plutôt 3$\rm X^3 non?

Posté par
Camélia Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:11

Elève-là au carré!

Posté par
Tigweg Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:14

Mince tu as raison, désolé!

Il me semblait me souvenir que les puissances qui interviennent dans le polynôme minimal sont les dimensions des espaces propres, mais c'est évidemment faux!
Faudrait que je revoie mes théorèmes moi, c'est pas bon d'enseigner dans le secondaire!

Posté par
Camélia Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:20

J'aurais bien pu commencer par te dire bonjour, Greg!

Posté par
Tigweg Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:27

Ce n'est pas grave, ton bonjour précédent était collectif, ne nous tracassons pas avec des détails!
Je comprends que mon énormité t'ait fait bondir d'ailleurs!

Bon comme je t'ai sous la main j'en profite bassement: peux-tu me rappeler en deux mots comment interpréter les puissances des facteurs qui interviennent dans le polynôme minimal?

Je me rappelle que la matrice est diagonalisable si et seulement s'il est scindé à racines simples.
On doit certainement de plus avoir une inégalité du type:

puissance du facteur (X-a) est inférieure ou égale à la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre a.

C'est juste ça?Si oui, y a-t-il mieux que cette inégalité?
Merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:33

Ce que tu dis est vrai. Mais le polynôme minimal ne suffit pas à caractériser les sous-espaces propres ni même les sous-espaces caractéristiques... justement outre le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, il y en a d'autres (facteurs invariants) qui finissent par caratériser les classes d'équivalence. Tu peux jeter un coup d'oeil ici: Réduction des endomorphismes linéaires un peu d'autopub ne nuit pas...mais ça reste au niveau "premier cycle"

Posté par
Tigweg Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:46

OK, merci Camélia!
Je ne connaissais pas le polynôme "facteurs invariants", je vais jeter un oeil sur Wikipédia.

Posté par
Camélia Correcteurre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 16:47

Ce n'est pas UN polynôme mais toute une suite...

Posté par
lolo217re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 21-02-09 à 17:24

oui désolé pour le rang !

Posté par
apaugamre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 22-02-09 à 01:51

Bonjour à tous

ce n'est pas grave  lolo217 pour le rang
c'est justement pour avoir même rang et même polynome caracteristique et minimal que j'ai pris une matrice un peu grosse

questions subsidiaire :
quelle est la taille minimale de la matrice pour obtenir deux matrices non semblables matrices de même polynôme minimal et de même polynôme caractéristique et de meme rang ?

Posté par
seb1122re : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 23-02-09 à 18:26

Merci apaugam, pour ta contribution super intéressante.

En effet deux matrices qui ont le même polynôme caractéristique ont le même déterminant et la même trace
car dans l'expression du polynôme caractéristique, le coefficient d'ordre n-1 est (-1)^n-1tr(A)  et le coefficient d'ordre 0 est det(A).

Posté par
apaugamre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 24-02-09 à 01:10

pour compléter l'info sur ce sujet
toutes les valeurs propres \lambda apparaissent comme racine du poly mini

si (X-\lambda)^k est le facteur correspondant du poly mini
et
si (X-\lambda)^n est le facteur correspondant du poly car
k donne la taille maximale des blocs de Jordan mais cela ne donne pas leur nombre ni le nombre de blocs de taille inférieure
pour trouver la forme de jordan d'une matrice A et/ou les invariants de similitude il faut regarder la suite des noyaux emboités
Ker(A-\lambda I)\subset Ker(A-\lambda I)^2. . . . \subset Ker(A-\lambda I)^{k-1}\subset Ker(A-\lambda I)^k=Ker(A-\lambda I)^{k+1}=Ker(A-\lambda I)^n
k correspond "au moment où les noyaux emboités s'égalisent"
Les invariants de similitude et la forme de Jordan peuvent être retrouvé à partir de cette suite de noyaux et notamment de leurs dimensions
Par exemple dans mes deux premiers exemples

2 bloc de taille 3
1 bloc de taille 2
1 bloc de taille 1

1 1 1
1 1 1
1 1
1
k=3 taille du plus grd bloc
n=9 multiplicité de la valeur propre comme racine du poly car
4, nb de blocs, donne la dimension du sous espace propre
2=dim Ker(A-\lambda I)^k=dim Ker(A-\lambda I)^n , donne la dimension du sous espace caracteristique
Ker(A-\lambda I)\subset Ker(A-\lambda I)^2\subset Ker(A-\lambda I)^3=Ker(A-\lambda I)^{4}=. . . Ker(A-\lambda I)^9
cela donne comme suite de dimension
4\leq 3\leq 2

Pour trouver concretement les blocs de jordan d'une matrice "compliquée"
1er bloc
on prend V dans Ker(A-\lambda I)^3 et pas dans Ker(A-\lambda I)^2
(A-\lambda I)(V) est dans Ker(A-\lambda I)^2 et pas dans Ker(A-\lambda I)
(A-\lambda I)^2(V) est dans Ker(A-\lambda I)
(A-\lambda I)^2(V),(A-\lambda I)(V) ,V donne la base correspondant au premier bloc et on recommence avec un autre vecteur independant des 3 premiers

Pour l'autre matrice
1 bloc de taille 3
3 bloc de taille 2
0 bloc de taille 1

1 1 1
1 1
1 1
1 1
k=3 taille du plus grd bloc
n=9 multiplicité de la valeur propre comme racine du poly car
4, nb de blocs, donne la dimension du sous espace propre
1=dim Ker(A-\lambda I)^k=dim Ker(A-\lambda I)^n , donne la dimension du sous espace caracteristique
cela donne comme suite de dimension
4\leq 4\leq 1

Posté par
apaugamre : matrices semblables (ou plutôt qui ne le sont pas) 24-02-09 à 01:21

Une grosse erreur dans mon dernier message sur les dimensions
j'ai oublié d'additionner !


2 bloc de taille 3
1 bloc de taille 2
1 bloc de taille 1

1 1 1
1 1 1
1 1
1
k=3 taille du plus grd bloc
n=9 multiplicité de la valeur propre comme racine du poly car
4, nb de blocs, donne la dimension du sous espace propre
4+3+2=dim Ker(A-\lambda I)^k=dim Ker(A-\lambda I)^n , donne la dimension du sous espace caracteristique
Ker(A-\lambda I)\subset Ker(A-\lambda I)^2\subset Ker(A-\lambda I)^3=Ker(A-\lambda I)^{4}=. . . Ker(A-\lambda I)^9
cela donne comme suite de dimension
4\leq 4+3\leq 4+3+2

Pour trouver concretement les blocs de jordan d'une matrice "compliquée"
1er bloc
on prend V dans Ker(A-\lambda I)^3 et pas dans Ker(A-\lambda I)^2
(A-\lambda I)(V) est dans Ker(A-\lambda I)^2 et pas dans Ker(A-\lambda I)
(A-\lambda I)^2(V) est dans Ker(A-\lambda I)
(A-\lambda I)^2(V),(A-\lambda I)(V) ,V donne la base correspondant au premier bloc
et on recommence avec un autre vecteur independant des 3 premiers, pris ds le plus grd noyau possible.

Pour l'autre matrice
1 bloc de taille 3
3 bloc de taille 2
0 bloc de taille 1

1 1 1
1 1
1 1
1 1
k=3 taille du plus grd bloc
n=9 multiplicité de la valeur propre comme racine du poly car
4, nb de blocs, donne la dimension du sous espace propre
4+4+1=dim Ker(A-\lambda I)^k=dim Ker(A-\lambda I)^n donne la dimension du sous espace caracteristique
cela donne comme suite de dimension
4\leq 4+4\leq 4+4+1


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