Niveau Reprise d'études

Méthode du ratio d'uniformes

Posté par
Knowhere 24-04-23 à 14:42

Bonjour à toutes et à tous,

J'espère que vous allez bien.

Je souhaiterais démontrer la méthode du ratio d'uniformes mais je fais face à quelques difficultés

Voici l'énoncé :

Soit $Soit f : \R \rightarrow \R+$ une fonction intégrable et $A = \left\{(u,v) : 0 \leq u \leq \sqrt{f(\frac{u}{v}}) \right\} \subset [0, +\infty ) \times \R$ .

Si le vecteur aléatoire (U,V) à la loi uniforme sur A, alors

$\frac{V}{U} \sim \frac{f(y)}{\int_{\R}^{}{f(y)dy}}$ .

1. Soit (U,V) ayant la loi uniforme sur A. Montrer que pour toute fonction $\phi$ borélienne bornée :

$E(\phi(\frac{V}{U})) = \frac{1}{2\lambda(A)} \int_{\R}^{}{\phi(x)f(x)dx}$

où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\R^{2}$ .

2. Poser 1" alt="\phi 1" class="tex" /> et montrer que

$2\lambda (A) = \int_{\R}^{}{f(x)dx}$ .

3. Terminez la preuve du théorème en utilisant les questions 1 et 2.

Je peine déjà à la question 1, dois-je montrer les deux inégalités pour avoir l'égalité ?
Pourriez-vous m'indiquer quelques indications ?

D'avance merci,

Très bonne journée.