et pour n éléments dans A, il y en a 2^n éléments de P(A) donc forcément une application surjective ne peut exister... car le nombre d'élément de p(A) est plus grand que celui de A donc il y a forcément des éléments de P(A) qui n'ont pas antécédents.

Je viens de voir ton dernier post... On associe {1} à 0 (par exemple) mais non 1 à {0} c'est le mauvais sens!

On se croise sans arrêt! L'argument de cardinamité est valable pour les ensembles FINIS, mais pas pour les infinis!

oui justement par exemple à 0 lui associe {0,1} par exemple dans notre exemple avec A = {0,1}

Juste si tu supposes s surjective!

ok je reprend:

On a une application s de A vers l'ensemble des parties de A (P(A)). On suppose une telle application surjective.

X est l'ensemble des x appartenant à A mais pas à s(x)

X appartient à P(A) car inclus dans A (C'est la définition de P(A))
or s surjective donc il existe x tel que s(x)=X (Ce X appartient à P(A))

s(x) image de x par s et X appartient logiquement à P(A) ensemble d'arrivé donc on peut avoir s(x)=X puisque s(x) est l'ensemble des
images de x par s se situant (les images) dans P(A) or X appartient à P(A) donc on peut avoir s(x)=X

si s surjective...

up

bon je vais pas vous embêter mais quelque chose m'échappe je demanderai au prof demain

Merci tout de même

Tu y es presque!

On a mis dans X chaque x qui n'est pas dans s(x). Regarde mes exemples de 14:51.

Pour le premier X={2,3}

Pour le second

Alors revenons au cas général... Je ne suppose rien sur s. Je prends x quelconque. De deux choses l'une:

(i) et alors par définition
(ii) et alors par définition donc à nouveau

Conclusion:

donc s n'est pas surjective!

ah il faut que je montre que s(x)XP(A) et le tour est joué?

Oui, bien sur, jusqu'ici on a essayé de te faire dire que s(x)=X est impossible, ça revient au même!

X ensemble des x appartenant à AP(A) et n'appartenant pas à s(x)

pourquoi on a proposé x n'appartient pas à s(x)?

parce que ça répond à la question: construire une partie qui n'est pas dans l'image de s!

Une partie de A est une partie pour laquelle on a choisi des éléments au hasard et ce en nombre quelconque.

et si on définissait une application qui à chaque a choisi on lui associe 1 et à chaque a non choisi on lui associe 0?

Des commentaires?

Cette application définit une partie de A.

Je ne vois pas où tu veux en venir ...

j'essaie de comprendre  l'équivalence entre une partie de A et une application de A vers {0,1} voilà pour  comprendre l'exo dans l'exemple d'un ensemble infini...

application de A vers {0,1} c'est qu'à chaque élément a choisi (pour former une partie )on lui associe 1 et qu'à chaque élément a non choisi on lui associe 0 et on décompte le nombre d'application possible qui en fait vaut 2^n

Une partie de A c'est les éléments pris au hasard et ce en nombre quelconque...

Ok, ça n'était pas précisé. (on a pas besoin de ça pour ton exercice)

Mais sinon, le principe est le suivant :
A une partie incluse dans , on associe l'application définie sur A à valeurs dans qui vaut 1 sur B, et 0 sur son complémentaire dans A.
On montre alors que ça définit une bijection entre l'ensemble des parties de A () et l'ensemble des applications de dans ().

J'essaie d'utiliser cette équivalence (entre la partie de A et l'application que nous venons de définir) pour montrer que le cardinal de P(A) vaut 2^n

j'ai pas compris ta dernière ligne Arkhnor

up

J'ai définit une application de vers , tu es d'accord ? (l'application qui à une partie de A associe sa fonction caractéristique)

Et bien j'affirme que cette application est en fait une bijection.

... et tu as bien raison!

sinon j'imagine que l'exercice est très difficile...

Mais non, ce n'est pas difficile. A la partie X de A tu associe définie par

non bien sûr l'équivalence P(A) et l'application PHI est facile à comprendre.

Je parlais de l'exo en général, le prof lui-même a dit que c'était difficile...

Ben, si tu as compris ça, le fait qu'elle soit bijective est évident. Essaye de définir la réciproque!

j'aboutirai à une contradiction?

Non, cette fois c'est vrai!