Ta phrase "Comment démontrer qu'une application de A vers p(A) ne peut exister?" est contradictoire :

Si tu dis  "une application de A vers..." , tu parles d'une certaine application qui donc existe et donc tu ne peux après dire qu'elle n'existe pas !

Par contre tu rencontres des questions de la forme
   "montrer qu'il n'existe pas d'application de X vers Y qui vérifie telle propriété P"

On raisonne par l'absurde

ah oups je reformule ma question:

Comment montrer qu'il n'existe pas une application surjective qui va de A vers P(A)?

ça me tord le cou...

Bonjour

Soit une application. Soit



Montre que X n'est pas dans l'image de f.

X n'est pas dans l'image de A? Mais ça se voit, tu a écris a n'appartient pas à f(a)...

je suppose l'application de A vers p(A) surjective noté s et je fais le raisonnement par l'absurde:

comme l'application est surjective alors il existe un x appartenant à A tel que X=s(x) (je suppose X image de A...)

ensuite?

si x appartient à X alors il appartient aussi à s(x) et comme X n'inclue pas d'élément a de p(A) donc pas d'image

alors x n'appartient pas à X (ce que je viens d'affirmer au départ) ->contradiction donc il n'existe pas cette sorte d'application...

est-ce juste comme raisonnement?

Bonjour.

Dans ce cas là, que peux-tu dire sur l'appartenance de x à X ?

même si ce raisonnement me paraît cohérent, je ne vois pas pourquoi on a dit "si x appartient à X..."

On suppose qu'il existe une application surjective.
On pose .
Comme est surjective, il existe tel que .

Aboutis à une contradiction.

ah alors pourquoi a-t-dit que X=s(x)?

Parce que , et que est surjective.
X est un élément de l'ensemble d'arrivée, il a donc un antécédent dans l'ensemble de départ.

X est une partie de A, donc , je ne vois pas le problème.
Peut importe les éléments de X, on a X inclus dans A.

Pour le post de 18h20:

on a supposé l'application surjective

X=s(x)

x appartient à X donc à s(x), donc il n'appartiendrai pas à X contradiction!

je ne comprend pas très bien...

Comme est surjective, il existe tel que

si je dis que xX alors il appartiendrai à s(x) or dans l'ensemble X, x s(x)

alors s'il appartient à s(x) il ne peut appartenir à X donc contradiction.

mais comment on a pu dire que x appartient à X?

up je galère!

ah seulement x n'appartient pas à s(x)

alors voilà comment je raisonne:

X inclue dans A alors logiquement il est inclue dans p(A) (par définition d'une partition)

si x appartient à X alors il n'appartient pas à s(x) (car)

et s'il n'appartient à s(x) alors il n'appartient pas à X (car on a supposé s(x) surjective donc il existe x tel que X=s(x))

est-ce juste?

et autre chose pour X, on a bien dit que x appartient à A mais pas à s(x) (p(A)), déjà là c'est faux par définition d'une partition...

à l'aide...

Pourquoi tu parles de partition ?
P(A), c'est l'ensemble des parties de A, il n'y a pas de partition en jeu.

A ce stade là, je crois que le mieux est que tu aies une rédaction complète, tu as juste besoin de remettre les choses au clair.

On suppose qu'il existe une application surjective.
On pose .
On a , comme est surjective, il existe tel que .

On distingue deux cas : , et .
Si , alors, par définition de , on a , c'est-à-dire , ce qui est absurde.
Si , alors, toujours par définition de , on a , soit .
Les deux cas aboutissent à une contradiction, il n'existe donc pas d'application surjective de dans .

au fait déjà c'est absurde de poser X comme ça,

comment il peut appartenir à A mais pas à une de ses parties??

mais s(x) appartient à P(A) alors si X n'appartient pas à p(A) alors il n'appartiendra pas à s(x)

bizarre bizarre...

donc au final si on aboutit à une contradiction c'est que la définition de X est-elle même absurde non?

donc au final, on a posé X l'ensemble des éléments n'appartenant pas à s(x) (qui est lui une partie de A).

l'hypothèse fausse qu'on ai faite "il existe s surjective" en d'autre terme il existe x appartient à X tel que X=s(x)

elle est carrément fausse puisque que nous avons dit que X différent de s(x)?

non?

X est l'ensemble des éléments x tels que n'appartient pas à s(x). Dans ta formulation, ça laisse sous-entendre que le x est fixé ...

Je reprends : X est l'ensemble des éléments x qui n'appartiennent pas à s(x), c'est à dire l'ensemble des x qui vérifient .

J'ai l'impression que tu confonds x et X ...

une autre solution,

soit n éléments dans A, on décompte le nombre d'éléments dans P(A)

Oui, si A est un ensemble à n éléments, P(A) est un ensemble à éléments, donc il ne peut y avoir de surjection de A dans P(A), car .

Cette solution est valable, mais seulement dans le cas où A est un ensemble fini.
Celle dont on discutait est valable pour tout ensemble A, même infini.

On a , comme s est surjective, il existe x \in A tel que s(x) = X.

pourquoi X appartiendrai à P(A)?

Parce que X est inclus dans A ! C'est la n-ième fois qu'on le répète.
Tu sais ce que c'est P(A) ?

oui c'est l'ensemble des parties de A

mais alors pourquoi on a dit que X est l'ensemble des a de A tel a n'appartient pas à s(x)?

ah ok et s(x) est l'image de x par s

et comme X appartient à P(A) car inclue dans A alors si s surjective il  existerai un x tel que s(x)=X

s(x) image de x par s et X appartient logiquement à P(A) ensemble d'arrivé donc s(x)=X

Voilà, et maintenant, tu peux reprendre le raisonnement de ma preuve, discuter suivant si x appartient ou non à X, et aboutir à une contradiction.

oui le reste j'ai compris c'était s(x)=X qui me dérangeait

ouf j'ai passé bcp de temps dessus la persévérance ça paie

Ok, l'essentiel est là, le tout est de voir avec quels ensembles on travaille.

oui avec un ensemble fini, j'utilise les dénombrements... qui est bien sûr plus simple que ce raisonnement qu'on vient de faire.

Ce qui est assez joli, c'est que notre raisonnement montre sans aucun calcul que pour tout .

oui quelle perspicacité!

autre question,

si X est l'ensemble des x appartenant à A mais pas à P(A) et si X appartient à P(A) car inclus dans A alors d'autres éléments appartenant à P(A) sont dans X (et certainement pas les x...)

j'ai dit une bêtise?

J'ai l'impression que tu n'as pas compris ce qu'est une applivcation de A davs P(A).

Alors voilà deux exemples:

A={1,2,3} f(1)={1,2} f(2)={1,3} f(3)=


A=R pour tout x.

je n'ai pas compris tes exemples camélia

une application (à chaque élément de A on lui associe un unique élément de p(A) de A vers P(A), eh bien il y en a plusieurs

par exemple,


A={0,1} alors P(A)=,{0},{1},{0,1}

et on peut associer 0 à {1} par exemple

de même 1 à {0}

il y a  plusieurs combinaisons possibles...