Niveau école ingénieur

Modélisation-Elements finis P1 en 2D

Posté par
Newenda 28-01-09 à 11:40

Bonjour,

petit problème sur un exercice (question 6) dont voici l'intitulé. Il s'agit en gros de la modélisation d'un barrage( $\Omega$ ) par un maillage en triangles
Merci d'avance de votre aide !

** T_P : image externe et volumineuse supprimée, merci de recopier ton énoncé STP. **

Posté par re : Modélisation-Elements finis P1 en 2D 28-01-09 à 15:15

$\\ \\ \section*{El\'ements finis P1 en 2D} \\ \\ On proc\`ede \`a une discr\'etisation de $\Omega$ en $T$ triangles, impliquant la cr\'eation de $N$ noeuds, sommets de ces triangles. Les coordonn\'ees des noeuds sont not\'ees $x_n$ et $y_n$. Toute fonction $\phi$, en particulier les champs de charge et de d\'eplacement, est discr\'etis\'ee \`a l'aide de $N$ fonctions de base lin\'eaires par triangle et attach\'ees \`a chaque noeud $n$, c'est \`a dire: \\ \begin{eqnarray*} \\ \phi(x,y) \approx \sum\limits_{n=1}^N \phi_n \psi_n(x,y) \\ \\ h(x,y) \approx \sum\limits_{n=1}^N h_n \psi_n(x,y) \\ \\ \vec{u}(x,y) \approx \sum\limits_{n=1}^N \left( u_{x,n} \vec{i} + u_{y,n} \vec{j} \right) \psi_n(x,y) \\ \end{eqnarray*} \\ \\ {\bf Q6} Dans un triangle donn\'e $\mathcal{T}_t$ num\'erot\'e $t$, ayant trois sommets ayant pour num\'eros de noeuds $m(t,1)$, $m(t,2)$ et $m(t,3)$ v\'erifier que: \\ \\ \begin{eqnarray*} \\ \forall [x,y] \in \mathcal{T}_t, \quad \\ \phi(x,y) = \phi_{m(t,1)} \xi_{t,1}(x,y) + \phi_{m(t,2)} \xi_{t,2}(x,y) + \phi_{m(t,3)} \xi_{t,3}(x,y) \\ \\ \xi_{t,s}(x,y) = (x-x_\alpha)a_{t,s} + (y-y_\alpha)b_{t,s} + c_{t,s} \\ \end{eqnarray*} \\ avec \\ \begin{eqnarray*} \\ \forall s \in \{1,2,3\}, \; x_s = x_{m(t,s)} \hbox{ et } y_s = y_{m(t,s)} \\ \\ a_{t,s} = \frac{1}{d} \\ \left| \begin{matrix} \\ 1 & \delta_{1,s} & y_1-y_\alpha \\ \\ 1 & \delta_{2,s} & y_2-y_\alpha \\ \\ 1 & \delta_{3,s} & y_3-y_\alpha \\ \\ \end{matrix} \right|, \quad \\ b_{t,s} = \frac{1}{d} \\ \left| \begin{matrix} \\ 1 & x_1-x_\alpha & \delta_{1,s} \\ \\ 1 & x_2-x_\alpha & \delta_{2,s} \\ \\ 1 & x_3-x_\alpha & \delta_{3,s} \\ \\ \end{matrix} \right| \\ \\ c_{t,s} = \frac{1}{d} \\ \left| \begin{matrix} \\ \delta_{1,s} & x_1-x_\alpha & y_1-y_\alpha \\ \\ \delta_{2,s} & x_2-x_\alpha & y_2-y_\alpha \\ \\ \delta_{3,s} & x_3-x_\alpha & y_3-y_\alpha \\ \\ \end{matrix} \right|, \quad \\ d = \left| \begin{matrix} \\ 1 & x_1-x_\alpha & y_1-y_\alpha \\ \\ 1 & x_2-x_\alpha & y_2-y_\alpha \\ \\ 1 & x_3-x_\alpha & y_3-y_\alpha \\ \\ \end{matrix} \right| \\ \end{eqnarray*} \\ o\`u $x_\alpha$ et $y_\alpha$ sont arbitraires. \\ \\ \\ {\bf Q7} En d\'eduire: \\ \begin{eqnarray*} \\ \psi_n(x,y) = \sum\limits_{t \,tel \, que\, n \in \{m(t,s),s=1,2,3\}} \xi_{t,s \, tel \, que \, m(t,s) = n}(x,y) \\ \end{eqnarray*} \\$

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