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Niveau Master
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Modules ; question simple

Posté par
fade2black
22-12-08 à 18:36

Bonjour,

j'attaque un cours sur les modules, et je me pose déjà une question.
Je lis que si A est un anneau commutatif, alors A est un A-module.
Je ne vois pas pourquoi on a besoin que A soit commutatif pour dire ça

Posté par
Nightmare
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:38

salut

Eh bien, pour avoir un module il faut un groupe abélien non?

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:40

Oui d'accord, mais un anneau c'est muni d'une loi + qui est commutatif, pourquoi la loi * doit être commutative aussi ?

Posté par
Nightmare
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:45

Oups oui j'avais mal interprété la question.

Si l'on enlève la commutativité, on a qu'un module à gauche ou à droite. La commutativité engendre le fait qu'on ait un module tout court.

Posté par
Rodrigo
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:45

Bonjour,
On ne s'intéresse a priori a la théorie des modules que sur des anneaux commutatifs unitaires.
Les anneaux non commutatifs sont vraiment tres tres differents.

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:49

D'accord, merci

Tant que j'y suis, entre temps je me pose une autre question de débutant.
Pourquoi a t-on l'équivalence suivante :
A est un A-module simple <=> A est un corps  ?

Posté par
Rodrigo
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:51

Il n'y a pas de multiplication a priori dans un module...

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:52

Oui le prof a marqué que ça mais j'imagine que A désigne un anneau ici.

Posté par
Rodrigo
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:55

Dans ce cas la oui, c'est réécrire autrement que un anneau est un corps ssi il possède uniquement des idéaux triviaux.
Si tu prend a dans A, alors (a)=A et donc a est inversible.

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 18:58

Ok, j'ai compris, merci bien et à bientôt sans doute pour des nouvelles questions ^^

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 19:35

Une autre question :

si un module est de type fini, alors il est libre...?

Posté par
fade2black
re : Modules ; question simple 22-12-08 à 19:37

Ah pardon, je viens de voir à l'instant que non.

C'est pas facile parce que je ne peux pas m'empêcher de voir les modules comme des espaces vectoriels, mais il y a des endroits comme ça où ça ne marche pas...



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