Bonjour

Comme Frobenius est défini par zz^p il me semble que l'orbite de n'importe quel z est de la forme jusqu'à ce qu'on retombe sur z.

Salut Camélia, et merci de ta réponse

Mais même en admettant ce que tu viens de dire, pourquoi attrape t-on tous les conjugués de avec cette orbite ?

Bonjour,
Le Frobenius est une générateur topologique de , qui est donc procyclique, donc tu attrapes bien tout les conjugues comme ça.

On sait d'une part que le polynôme cyclotomique est irréductible, donc tout morphisme transforme en une racine du polynôme qui, lui, a pour racines les racines primitives de l'unité. Frobenius étant un morphisme... S'il reste des doutes il suffit de faire les comptes... entre ordre du Frobenius et degré du cyclotomique.

A compter bien sur que ton polynome soit irreductible (pour que l'action soit transitive)

Effectivement, mon prof vient de me répondre à l'instant (c'était inespéré puisqu'il fait grève depuis 3 mois ^^) : "Cela vient du fait que le groupe de Galois d'une extension finie d'un corps fini F_q est le groupe cyclique engendré par le Frobénius : x --> x^q".

Générateur topologique ? Procyclique ? Jamais entendu parlé...

Il me semblait que les polynômes cyclotomiques sur Fp n'étaient pas forcément irréductibles... Si je note le morphisme de Frobenius, j'ai où m est le cardinal de G. Pour tout i, je suis d'accord sera un conjugué de sur Fp, mais je ne vois toujours pas pourquoi on les atteint tous comme ça.

Parce que d'accord, le degré du Frobenius est égal au degré de (j'appelle m ce degré). Ca veut dire que n'est pas l'identité pour i plus petit que m, mais pourquoi est-ce que ne serait pas égal à pour un i plus petit que m ? Ca ne contredirait pas le fait que soit d'ordre m il me semble.

C'est pareil, en fait ca veut dire que tous les sous groupe de Gal(F_p^bar/F_p) sont cycliques et engendré par le frobenius.
Donc bon si tu prends une extension finie alors le groupe de galois est cyclique est engendré par le Frobenius (ce qui est l'analogue du lemme de l'element primitif si on y reflechit bien).

Bien sur que non les polynomes cyclotomiques ne restent pas forcement irreductibles sur F_p par exemple regarde X^{p-1}-1, bon certes c'est pas un polynome cyclo mais sur F_p...il est scindé a racines simples!