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Morphisme de Frobenius et racines eniemes

Posté par
fade2black
24-04-09 à 13:11

Bonjour à tous,

dans la correction d'un exo, une phrase m'intrigue.

On condidère le n-ème polynôme cyclotomique sur Fp, on prend une racine \xi de ce polynôme (qui est donc une racine enieme primitive de l'unité) et là il est dit "les conjugués de cette racine sur Fp sont donnés par l'action du Frobenius et sont donc de la forme \xi^{p^i}". Je ne comprends pas d'où ça vient. Quelqu'un peut m'expliquer ?

Merci !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 15:14

Bonjour

Comme Frobenius est défini par zzp il me semble que l'orbite de n'importe quel z est de la forme (z,z^p,(z^p)^p=z^{p^2}, ...) jusqu'à ce qu'on retombe sur z.

Posté par
fade2black
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 15:45

Salut Camélia, et merci de ta réponse

Mais même en admettant ce que tu viens de dire, pourquoi attrape t-on tous les conjugués de \xi avec cette orbite ?

Posté par
Rodrigo
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 16:05

Bonjour,
Le Frobenius est une générateur topologique de Gal(\overline F_p/F_p), qui est donc procyclique, donc tu attrapes bien tout les conjugues comme ça.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 16:05

On sait d'une part que le polynôme cyclotomique est irréductible, donc tout morphisme transforme \xi en une racine du polynôme qui, lui, a pour racines les racines primitives de l'unité. Frobenius étant un morphisme... S'il reste des doutes il suffit de faire les comptes... entre ordre du Frobenius et degré du cyclotomique.

Posté par
Rodrigo
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 16:07

A compter bien sur que ton polynome soit irreductible (pour que l'action soit transitive)

Posté par
fade2black
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 16:39

Effectivement, mon prof vient de me répondre à l'instant (c'était inespéré puisqu'il fait grève depuis 3 mois ^^) : "Cela vient du fait que le groupe de Galois d'une extension finie d'un corps fini F_q est le groupe cyclique engendré par le Frobénius : x --> x^q".

Générateur topologique ? Procyclique ? Jamais entendu parlé...

Il me semblait que les polynômes cyclotomiques sur Fp n'étaient pas forcément irréductibles... Si je note \sigma le morphisme de Frobenius, j'ai G=\{Id,\sigma,...,\sigma^{m-1}} où m est le cardinal de G. Pour tout i, je suis d'accord \sigma^i(\xi) sera un conjugué de \xi sur Fp, mais je ne vois toujours pas pourquoi on les atteint tous comme ça.

Parce que d'accord, le degré du Frobenius est égal au degré de \xi (j'appelle m ce degré). Ca veut dire que \sigma^i n'est pas l'identité pour i plus petit que m, mais pourquoi est-ce que \sigma^i(\xi) ne serait pas égal à \xi pour un i plus petit que m ? Ca ne contredirait pas le fait que \sigma soit d'ordre m il me semble.

Posté par
Rodrigo
re : Morphisme de Frobenius et racines eniemes 24-04-09 à 16:44

C'est pareil, en fait ca veut dire que tous les sous groupe de Gal(F_p^bar/F_p) sont cycliques et engendré par le frobenius.
Donc bon si tu prends une extension finie alors le groupe de galois est cyclique est engendré par le Frobenius (ce qui est l'analogue du lemme de l'element primitif si on y reflechit bien).

Bien sur que non les polynomes cyclotomiques ne restent pas forcement irreductibles sur F_p par exemple regarde X^{p-1}-1, bon certes c'est pas un polynome cyclo mais sur F_p...il est scindé a racines simples!



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