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Niveau Master
Mouvment brownien
Posté par clicli
Bonjour,
Une petite question de probabilité:
Soit Bs(w) un mouvement brownien standard pour s positif ou nul.
Comment je peux démontrer que l'intégrale de Bs pour s variant entre 0 et 1: 
[0,1]Bs(w)ds suit une loi normale et calculer sa variance/espérance?
Merci de votre aide
Bonjour,
pourrais-tu donner la définition et les propriétés que tu connais d'un mouvement brownien s'il-te-plaît? 
Bonjour,
Pour moi, un mouvement brownien est un processus stochastique réel (Bt)t
0 nul en zéro, presque sûrement continu par rapport à la variable t et tel que Bt soit à accroissement indépendant avec Bt
N(0,t).
En fait, je ne sais pas trop comment faire apparaître le caractère "loi normale" de mon intégrale. Intuitivement, je dirais que la moyenne de mon intégrale est nulle et que sa variance est 1/2, sans certitude cependant sur cette dernière valeur.
Merci
Petite idée par ailleurs:
En écrivant notre intégrale comme somme de Riemann, on arrive à une somme de loi normales... On peut donc conclure à la loi normale pour l'intégrale en invoquant la stabilité de la loi normale pour la somme...
Mais ce qui me dérange, c'est que Bs1 et Bs2 ne sont pas indépendantes lorsque s1
s2 puisque leur covariance vaut min(s1,s2), du coup, la loi normale n'est plus stable...
Je suis désolé, ça fait trop longtemps que je n'ai pas fait ce genre de choses...
Je laisse la main à quelqu'un qui sera plus à même de t'aider.
Bon courage! 
Une équation différentielle stochastique...
Mais en fait, il y a une solution plus simple, je n'en suis pas sûr, mais voilà à quoi ça ressemblerait:
On écrit la somme de Riemann qui converge vers l'intégrale: 
[B(xk,w)(xk-xk-1);k=1..n] que l'on réarrange en [(xk)(B(xk,w)-B(xk-1,w));k=1..n] (aux valeurs extrêmes près, un peu la flemme de l'écrire proprement!).
Le mouvement brownien étant à accroissements indépendants, on a une somme de loi normales indépendantes cette fois-ci, et on peut donc conclure à la convergence vers une loi normale!
La moyenne est la somme des moyennes, et la variance l'intégrale des variances!!
Hop hop, le tour est joué!
Je me demande juste s'il ne faudrait pas invoquer un petit argument pour justifier la convergence (de type convergence dominée, ou quelque chose comme ça...). En fait, on a transformé l'intégrale de Riemann en intégrale de Stieltjes, qui converge elle aussi!
Si quelqu'un a des précisions à apporter à ce raisonnement, ça serait super!