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Niveau Maths sup
Nombre de Bell et Stirling
Posté par michsisi
Bonjour,
j'ai besoin d'aide concernant un exercice sur les nombres de Bell et de Stirling:
Soient n et k 2 entiers positifs, Nn* désigne l'ensemble des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n, En,k désigne l'ensemble des partitions strictes de Nn* en k sous-ensembles. Les {Xi,1<i<k} sont dans En,k si et seulement si les Xi sont des sous-ensembles non vides 2 à 2 disjoints de Nn* tel que l'union des Xi soit Nn*. En désigne l'union des En,k pour k variant de 1 à n. On note Pn,k le cardinal de En,k et Bn celui de En
1°)Donner les valeurs de Pn,k et Bn pour n=1,2,3
J'ai réussi à trouver mais seulement en allant chercher un peu sur le net
P1,1=1 P2,1= -1 ,...
Je n'arrive pas à retrouver les résultats en passant par les données de l'énoncé.
Vérifier que Pn,n= Pn,1 = 1
Calculer Pn,2 et Pn,n-1
Justifier la relation Bn
k=1 à n Pn,k
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
bonsoir,
y a eu un problème j'ai répondu et il n'y aplus trace de ma réponse
je recommence
1)
n=1 il y a une seule partition de c'est{{1}}=>
n=2
il y a une partition formée d'une seule partie de
c'est {{1,2}}=>B{2,1}=1
il y a une partitionformée de deux parties de
c'est celle des singletons {{1},{2}}=>B2,2=1
n=3
une partition formée d'une seule parte de ={{1,2,3}} =>B3,1=1
il y a une seule partition formée de 3 parties de
c'est la partition des singletons{{1},{2},{3}}=>B{3,3}=1[/tex]
il y a 3 partitions formées d'une parties à deux éléments et d'un singleton
{{1},{2,3}},{{1,2},{3}et {{1,3},{2}}=>B3,2=3
tu en déduis que
c'est le nombre de partitions en n sous ensembles,il n'y a qu'une telle partition c'est la partition des singletons {i}(1
in) {{i}} =>
c'est le nombre de partitionS en un seul sous ensemble,il n'y en a qu'une c'est {{
}}=>
=1
c'est le nombre de partitions en deux sous ensembles
si n=2 c'est
si n>2 il y a sous ensembles de
mais l'ensemble lui même et l'ensemble
sont à exclure il y a donc sous ensembles susceptibles d'intervenir dans une partition
soit A un tel sous ensemble{}
mais{
}est la même partition il y a donc
partition en deux sous ensembles=>
pour n=3 on retrouve bien déjà calculé