Annuler
connectez vous
en post-bac
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Nombres réels - borne supérieure
Posté par Autodidacte33
Bonjour ,
En étudiant le cours sur les nombres réels de MPSI , je tombe sur un exemple que je n'arrive pas à comprendre comme il faut , le voici :
(Je marque en bleu les passages qui posent problème .)
Début -----------------------
| Exemple :
Soit l'ensemble Montrons que |
Posons
En prenant
Par suite , pour tout
Et donc
Posons
En prenant
Et donc ,
Fin-------------------
Mes questions sont les suivantes :
1) De le cas où l'on suppose que
Si
2) De même en fait , dans le cas où l'on suppose que
Si
Je vous remercie d'avance !
Oops, une erreur dans ma question 2) (à cause du copier/coller)...
Si , j'obtiens bien évidemment
et pas
Bonjuour
pour h=a, on a exactement (a-h)²=(a-a)²=0... dire que c'est supérieur ou égal à deux me paraît un peu gonflé ....
tu es certain d'avoir tout recopié exactement ?
Salut lafol,
Oui tout à fait , je peux même poster une foto de la page si vous voulez , est-ce que c'est autorisé ?
Bonjour
Je trouve la question un peu aberrante, non? Si on connaît , on sait aussi que la fonction carrée est bijective et strictement croissante sur
, ce ne sont que des propriétés algébriques. On a alors que
est simplement
où
est l'unique antécédent positif de
. On a alors
et
?
Salut AitOuglif,
Merci pour ta réponse , tout à fait d'accord avec toi !
Mais c'est quand même ce que l'auteur a écrit dans son bouquin et j'aimerai bien le comprendre ...
Bonjour à tous
Autodidacte33, vu que tu as recopié le texte, tu as le droit de le remettre maintenant en image ou en pdf
salut
AitOuglif le but du pb est évidemment d'apprendre à "utiliser les epsilon" et travailler avec des majorations-minorations puis passer à la limite ...
Pour le premier passage en bleu,
le bouquin dit : en prenant etc etc
Tu peux remplacer cette phrase par :
en prenant
et tu regardes si tu comprends tout ça.
Ensuite, on peut se demander pourquoi l'énoncé dit , et pas
, c'est normal, le bouquin a raison. Mais tu dois pouvoir expliquer dans quels cas ma simplification est justifiée.
Salut ty59847 ,
Merci pour ta réponse! Les questions que tu me poses sont exactement celles qui me bloquent !
Alors , lorsque , j'obtiens bien :
Après :
Citation :
on peut se demander pourquoi l'énoncé dit)
, et pas 
on peut se demander pourquoi l'énoncé dit
Le choix de
Or, on ne se contente pas de prendre
Bon, en fait, il y a un truc bizarre.
En fait ne peut jamais être inférieur à
, vu comment
a été construit.
Donc ça aurait été beaucoup plus normal d'écrire
Sauf si j'ai raté quelque chose.
Mais ce n'est pas faux, c'est juste : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
le problème vient du = et du "on obtient" dans
Citation :
En prenant)
, on obtient ^2\geq 2)
En prenant
il faut détailler ce "on obtient" en travaillant non pas avec un = mais avec un
et là veut élever au carré ...
mais pour conserver l'ordre et être certain de cet ordre il faut que la trois membres soient positifs ... du moins que a - h >= 0 ...
carpediem @ 26-06-2022 à 11:55
salut
AitOuglif le but du pb est évidemment d'apprendre à "utiliser les epsilon" et travailler avec des majorations-minorations puis passer à la limite ...
salut
AitOuglif le but du pb est évidemment d'apprendre à "utiliser les epsilon" et travailler avec des majorations-minorations puis passer à la limite ...
Salut carpediem
D'accord. Merci.
carpediem
Est-ce que je respecte les objectifs si je dis que pour tout , on a
(1) et un réel
(donc de carré
) tel que
(2). Alors, par passage à la limite, (1) me dit que
par continuité des fonctions carré et affines, et (2) me dit que
tend vers
et
de telle sorte que
. D'où
. J'ai fait un raisonnement epsilonesque, des majorations et un passage à la limite…?
c'est le principe ... mais ça me semble manquer de rigueur et être insuffisant ...
pourquoi ne pas suivre l'idée de la démonstration en montrant que :
si a^2 > 2 alors on trouve un majorant de X plus petit que a
si a^2 < 2 alors on trouve un élément de X plus grand que a tel que x^2 < 2
Bonjour
AitOuglif, c'est un exercice qui vise à établir des propriétés de IR, pour le construire proprement, si tu le fais en utilisant tout ce qu'on peut établir par la suite en utilisant la borne supérieure, c'est un peu biaisé ... (comme les gens qui prétendent prouver que sin(x)/x tend vers 1 en 0 à partir de la dérivée de sin, alors qu'on utilise cette limite pour justifier que cos et sin sont dérivables en 0)
Salut,
Je suis un peu perdu là...
ty59847 : C'est exactement ce que je pense , pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Je ne vois pas l'intérêt de prendre quand on peut prendre
carpediem : dans ton message du 26/06 à 16:48 , tu a pris à la place de
. Est- on libre dans le choix de
?
Et plus concrètement svp , le choix de du bouquin n'est pas le meilleur , c'est bien ça?
Merci!
en fait, il veut s'assurer que a-h reste positif, avec son histoire de min
sauf qu'il n'a pas réalisé qu'avec h=a, ça ne fonctionnerait plus, et que de toutes façons c'est automatique, h < a , pour h = epsilon/(2a)
Bonjour lafol
J'ai bien compris, mes messages sont un peu provocateurs mais je ne trouve pas cela très cohérent de définir un ensemble comme une partie d'un ensemble qu'on n'a pas encore défini proprement, justement…Qu'est-ce que dans la définition de
?
IR est défini, à ce stade, mais le but est d'en établir petit à petit les propriétés
Une borne supérieure, c'est justement ce sur quoi porte cet exercice : inutile de chercher à le faire sans en avoir lu la définition ...
AitOuglif :
La borne supérieure d'une partie de
notée
est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de
.
On peut la caractériser par :
Bonjour Autodidacte33
Je sais ce qu'est une borne supérieure .
As-tu lu ma preuve? En fait, je posais la question pour rappeler que je ne fais qu'utiliser cette définition…Donc c'est gonflé de comparer ma preuve à cette histoire de sin x/x…D'autant que lafol parle de « construire proprement » dans un message puis «
est défini à ce stade » dans un second message. Bref, je n'insiste pas!
AitOuglif : Oh excuse moi , ta question était rhétorique alors ...
Oui j'ai vu ta démonstration , je n'ai pas très bien compris vu que tu utilises les notions de limite et de continuité que je n'ai pas encore étudié ! Je vais par contre la noter pour la revoir une fois ces notions connues
Merci à toi de toute façon !
il est étonnant de traiter ce genre d'exercice sans connaitre la notion de limite ...
vu ton pseudo je pense que tu étudies en solo et bravo car ce n'est pas toujours facile cependant je t'invite à voir cette notion qui te donnera très certainement un éclairage ... plus clair 
sur ce que tu travailles ... car la notion de borne sup est intimement liée à la notion de limite ... comme le montre la définition de 23h04 ...
carpediem : Oui je suis autodidacte, je fais les maths à la maison et j'utilise les bouquins de mon frère qui avait fait classes prépas dans le passé . Merci pour les compliments
Ce n'est pas moi qui a choisi par quoi et par où commencer , je ne fait que suivre le bouquin De toute façon , le paragraphe qui suit traite les suites numériques et leurs limites entre autres , et le cours qui suit celui-ci traite les fonctions d'une variable réelle . Ça va aller je crois
Merci !