Bonjour,

J'aimerais trouver l'ensemble des entiers de [0,100] qui peuvent s'écrire avec exactement quatre 4 et aucun autre nombre, et les opérations +, -, ×, /, ^, sqrt, !.
Par exemple, 1 peut s'écrire (4+4)/(4+4), 5 peut s'écrire 4+(4/(sqrt(4)+sqrt(4))), etc.

En cherchant à la main, j'en ai trouvé 76 (sur 101), puis j'ai fait un programme testant toutes les possibilités qui en a trouvé 3 de plus. Le problème est que je ne sais pas comment démontrer que mon programme a effectivement essayé toutes les possibilités.

En effet, pour les opérateurs binaires (+-×/^), il n'y a pas de problème, il y en a exactement 3 dans chaque expression s'écrivant avec quatre 4, mais c'est la racine carrée et la factorielle qui me posent problème, car le nombre d'utilisation de ces opérations n'est pas a priori borné. Pour obtenir 64 avec seulement deux 4, on peut par exemple écrire sqrt(sqrt(sqrt(4^(4!)))).
Le problème est qu'il est également autorisé d'écrire des horreurs comme 4! ! ! ! ! ! ! ! ! !/4! ! ! ! ! ! ! ! ! !+4-4 pour obtenir 1, mais il est clair dans ce cas que le quotient peut être avantageusement remplacé par 4/4.
^{(les espaces entre les '!' sont dus au forum qui refuse l'« usage abusif de signes de ponctuation » ^^)}

Ma question est :
Trouver un entier n tel que tout entier de [0,100] s'écrivant avec exactement quatre 4 et strictement plus de n symboles '!' ou 'sqrt' possède une écriture avec quatre 4 et n ou moins symboles '!' ou 'sqrt'.

Connaissant un tel n, le problème se résumerait alors à l'étude d'un nombre fini de configurations, et mon programme pourrait alors me fournir une preuve mathématiquement correcte que seuls 79 entiers de [0,100] sont écrivables avec quatre 4 (ce que je conjecture, étant donné que même en augmentant beaucoup le nombre de '!' et de 'sqrt' autorisés, il n'en trouve pas d'autre; je ne sais juste pas à partir de combien je suis sûr de ne rien trouver de plus)

Merci

Fractal