Bonjour à tous. Je suis étudiant en esc et j'ai un problème de mathématique relatif a la recherche d'extema sous contrainte ( pour des fonctions à plusieurs variables).
Je dois utiliser la méthode de Kuhn-Tucker, j'ai réussi sur un autre exercice mais là je bloque ( peut-être a cause de la lourdeur des calculs )

Voila ce que je peux en dire :
D'aprés la solution on fait bien une minimisation ( je vois pas trop la difference avec une maximisation cela dit ... )
l'énoncé
Soit une entreprise voulant minimiser sa fonction de coût C(x,y)=3x+2y ou x et y sont les quantités (en tonne )
Sa fonction de production ( ce qu'elle produit avec x et y ) est f(x,y) = x^1/2y^1/3
L'entreprise ne peut vendre plus de 2 tonnes de produit.
Cela revient à minimiser la fonction C(x,y)=3x+2y
sous les contraintes x^1/2y^1/3 <= 2
x=> 0
y=> 0

question 1 ) calculer la Hessienne
2)convexe / concave ?
3 peut on trouver le max ?
4 si oui résoudre le problème de maximisation avec Kuhn-Tucker.

La solution donne : La fonction est convexe on peut donc la minimiser
x=2.29
y=2.49



Maintenant ce que je fais moi. ( avec (§2)= lambda 2 et (§3) = lambda 3 car ils ne sont pas trop utiles  à priori )
J'ecris la Lagrangienne : L(x,y,javascript:symbole('');,(§2),(§3)) = 3x+2Y -(§1)(x^1/2y^1/3- 2 ) - (§2)x -(§3)y.
En derivant sur x et y on a les conditions d'optimalité :

3 - (1/2*x^(-1/2)y^1/3) -(§2) = 0 (equation 1 )
2 - ;(1/3*(x^1/2y^-2/3)) - (§3) = 0 ( equation 2 )
plus les contraintes
(x^1/2y^1/3 - 2 )=0
(§2)x=0
(§3)y= 0 ( donc (§2) = (§3) = 0
x^1/2y^1/3 - 2 <= 0
x>=0
y>=0


alors : equation 1 : 3 = (§1)(1/2*x^(-1/2)y^1/3)
equation 2 : 2 = (§1)(1/3*x^1/2y^(-2/3))



Si on fait en remplacant (j'arrive pas plus en divisant pour enlever le delta ... ) :
6 = x^-1/2y^1/3 <=> x^-1/2 = (6/javascript:symbole(''); ) * y(^-1/3)

On reinjecte : dans (2)

6 = *(/6)*y^1/3y^(-2/3) <=> 1 = ²*y^(-1/3) <=> y^1/3=² <=> y^1/6 = ;

On repart dans l'equation 1 :

6=y^1/6*x^(-1/2)*y^1/3 <=> 6= y^1/2*x^(-1/2) <=> x^-1/2 =6y^-1/2


on reinjecte alors dans la contrainte ( x^1/2y1/3=2 )

2 = y^1/2*y^1/3 <=> 2 = y^4/6 <=> y=2^6/4 = ...; 2.82 hors y = 2.49 d'aprés l'énoncé.

Et je tourne en rond comme ca depuis 2 heure de l'après-midi ...
Excusez moi par avance pour mes erreurs dans l'écriture ( quelle lourdeur ... )  du sujet ou sa résolution...
Et merci pour vos réponses !